A contrazis careva Fizica elicoidală?

Pe topicul „Despre abolirea discrepanţei dintre bogaţi şi săraci”,

Erick_ a scris:Oricum in zadar am scris.. ca si la fizica elicoidala.. mort copt...

Ce să înţeleg, că a contrazis careva ceva din Fizica elicoidală şi eu nu l-am băgat în seamă? A contrazis cumva cineva din ceea ce am scris în forumul Fizicii elicoidale? Ori, a contrazis careva teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet? Ori vorbim doar vorbituri?

Nu Sefu, nu ai fost contrazis..Dar cine ar indrazni ?
Sefu are intotdeauna dreptate.
Sefu-i sef si-n **** gol.
Sa te fereasca Dumnezeu sa ""şi eu nu l-am băgat în seamă?""

Ok. Aștept și alte păreri, mai realiste.

M-ai făcut curios, deși sunt prin natura mea, și mi-am dedicat astăzi câteva ore bune pentru a citi și aprofunda cum ai ajuns la teorema de recurență.

Nu analizăm acum corectitudinea interpretării matematice a ecuațiilor, pentru că oricum au o simbolistică destul de dificil de urmărit și îngreunează munca cititorului în verificarea corectitudini ecuațiilor și mai mult, o parte din ele depășesc nivelul meu de pregătire.

Ne rezumăm doar la logica raționamentului pe care l-ai folosit.

În linii mari, ai plecat de la triedrul drept, construit de versorii tangentei, normalei și binormalei, caracterizat de perpendicularitatea acestora.
La un moment dat, ai stabilit că versorul vitezei unghiulare este perpendicular pe normală, ceea ce te-a determinat să construiești un alt triedru, alegând ca și al treilea versor ca fiind produsul vectorial al acestor doi versori perpendiculari, ai vitezei unghiulare și normalei.
Ai ajuns așadar, la un nou triedru, asemănător triedrului Frenet, pentru care ai stabilit ulterior că sunt determinați prin aceleași formule trigonometrice ca ai triedrului Frenet, numindu-l de ordin 2.
Pentru cel de ordin 3 ai arătat în mod identic perpendicularitatea versorului vitezei unghiulare pe normală, ai construit similar un nou triedru cu versorul obținut de produsului vectorial al acestora din urmă, determinați ca și în cazul precedent, de aceleași formule trigonometrice.
E corect până aici ?
Dacă da, deducțiile sunt suficiente pentru a obține recursivitatea.
Dacă ar fi vreo greșeală, aceasta ar trebui să fie de altă natură.
Mă gândesc că este puțin probabil ca ea să fie una de corectitudine a ecuațiilor, pentru că de-atâta timp le-ai verificat și răsverificat.
Cred că mai degrabă, dacă ar exista vreo greșeală, aceasta ar fi una de interpretare logică a matematicii folosite.

Oricum, când mai am un pic de timp liber, o să mai insist asupra demonstrației, pentru că trebuie să mă mai familiarizez cu anumiți termeni și s-o parcurg pas cu pas să mă asigur că nu-mi scapă nimic.

Nu pot să mă pronunț vis-a-vis de importanța ei în lumea fizicii, deși ar fi utilă pentru că ar ajuta la o mai bună înțelegere și validare a demonstrației.

Superb! Ai văzut că se poate?! Totul e să vrei. Dac-ar mai fi doi ca tine, lumea r arăta altfel. Felicitări! Şi mersi! Continuă, să vezi ce minuni se ascund în această teoremă!

La un moment dat, ai o greșeală de redactare.
Prima pe care am găsit-o reiese din exprimarea derivatei normalei.
Dacă



atunci derivata normalei va fi



și nu așa cum este scris pe blog



dar concluziile ulterioare care duc la cele trei formule ale derivatelor tangentei, normalei și binormalei, nu depind de corecția respectivă.

Într-adevăr, din



rezultă că viteza unghiulară are doar componentă pe tangentă și binormală, fiind suficient să rezulte că este perpendiculară pe normală, principiul recurenței bazându-se pe acest detaliu.

S-o luăm altfel.
Derivata tangentei este normala.
Derivata normalei, așa cum reiese și din formule,  este exact viteza unghiulară. Asta înseamnă că triedrul de ordinul 2 este format din normală, derivata normalei și produsul vectorial al normalei și derivatei sale. Dar, dacă nu mă înșel, derivata normalei este la rândul ei exact tangenta. Iar viteza unghiulară nu poate fi perpendiculară pe tangentă.
Prin urmare, triedrul pe care-l consideri de ordinul 2 este exact triedrul Frenet inițial, pentru că produsul vectorial al normalei și derivatei normalei (tangenta) este binormala.
Deci triedrul de ordinul doi are vectorii normala, derivata ei, tangenta, și binormala, deci exact triedrul Frenet inițial.

Greșesc ?

Nu, stai liniștit deocamdată, am greșit eu interpretarea.

Hai să analizăm animația, să am o mai bună vizualizare.
[Offtopic]{Am încercat s-o afișez direct, dar cu flash nu merge, poate reușești tu}[/Offtopic]



Tangenta este săgeata albastră, normala este săgeata roșie, iar binormala este săgeata neagră.
Viteza unghiulară este perpendiculară pe normală (în vârful săgeții roșii) și ar trebui să fie paralelă cu binormala (săgeata neagră), nu ?

Triedrul de ordinul 2, construit cu normala triedrului inițial și viteza unghiulară ar arăta cam așa ?

S-o luăm altfel, cât se poate de băbește, să înțeleagă tot românul.
Sau cel puțin eu, vreau să înțeleg ce susții atât de profund.
Cum ar fi ideal să începem, să începem cu începutul.

Deci Frenet a stabilit că în orice punct al traiectoriei unui corp în mișcare i se poate atribui un triedru determinat de vectorii tangentei la traiectorie, normalei reprezentând derivata unică a tangentei, iar cel de-al treilea vector determinat de produsul vectorial al acestora.

Bun.

Vectorul vitezei unghiulare este perpendicular pe normală.
Alegând vectorii normalei, vitezei unghiulare și a produsului vectorial al acestora, tu ai dedus triedrul de ordin 2.

Întrebarea mea acum este :

Descrie ceva complementar, aduce informații suplimentare pentru traiectoria corpului inițial, acest triedru de ordin 2 ?

Dar cel de ordin 3 ?

Întreb asta pentru că teoretic, poți să construiești o infinitate de triedre ce satisfac formulele lui Frenet, dar care nu au nicio treabă cu triedrul asociat traiectoriei corpului .

Scuză-mă pentru modul ofensiv în care-ți răspund, dar cred că mai mult îți folosesc critici decât laude. Cel puțin acum, în stadiul în care cineva urmărește să verifice corectitudinea demonstrației și a importanței ei fizice.

Sincer, acum vreau să-ți găsesc doar greșeli și încerc să fac tot ce-mi stă în putere să evidențiez eventuale erori de raționament.
Și fac asta pentru că asta te-ar ajuta și pe tine.
Eu aș putea să stau cuminte și în banca mea, dar chiar vreau să înțeleg de ce crezi atât de puternic în ceea ce crezi.

Iată dom'le, un om curajos cu adevărat, un om care gândeşte mai mult decât i s-a dat! Bravo, măi!

Îţi răspund deocamdată la penultimul mesaj (mă gândesc că la celelalte dinaintea lui ai găsit deja răspunsul): da, flăcău, cam aşa ar arăta.

Te pupă tata! :*

La mesajul anterior încă n-am apucat să-ţi răspund, dar o să revin, că merită.

Dacă tot e să-ți caut nod în papură, cu ghilimele de rigoare, atunci să privim imaginea :



Ai găsit triedrul de ordinul 2, cel de aceeași culoare.
Tangenta acestui triedru ar trebui să fie tangentă la traiectoria unui corp în mișcare.
Care este această traiectorie ?
Altfel, acest triedru este determinat doar teoretic,
nu atribuit unei traiectorii propriu-zise pentru un corp în mișcare.
Cu siguranță acest triedru de ordin 2 nu poate descrie traiectoria corpului inițial, care are deja triedrul său.
Dacă ar fi atribuit traiectoriei corpului în cauză, atunci am vorbi de triedrul inițial ce ar trebui să descrie traiectoria completă a mișcării corpului.

Deci triedrul de ordin 2, deși verifică teoretic formulele lui Frenet, nu este un triedru asociat traiectoriei unui corp, ci doar dedus teoretic, ca și pentru triedrele de ordin mai mare ca 2.

Acum apare o întrebare foarte interesantă :

Au întotdeauna principii verificate matematic, din punct de vedere teoretic, un corespondent în realitatea fizică ?

În situația de față sunt două explicații.
Fie răspunsul la întrebare este negativ, fie este pozitiv, caz în care demonstrația ta este incorectă.

Continuând, în cel de-al doilea caz, ne întrebăm unde este greșită ?
Dacă nu există o greșeală de logică matematică, atunci principiul lui Godel se aplică și pentru alte cazuri.
Există demonstrații matematice teoretice ce nu pot fi validate sau invalidate.

Demonstrația ta ar putea duce la o nouă filozofie matematică.

curiosul a scris:Întrebarea mea acum este :

Descrie ceva complementar, aduce informații suplimentare pentru  traiectoria corpului inițial, acest triedru de ordin 2 ?

Dar cel de ordin 3 ?

Întreb asta pentru că teoretic, poți să construiești o infinitate de triedre ce satisfac formulele lui Frenet, dar care nu au nicio treabă cu triedrul asociat traiectoriei corpului .

Cu ajutorul triedrelor de ordin superior putem construi traiectorii de ordin superior.

Să presupunem, de exemplu, că vorbim despre o elice circulară întâi, aşa cum apare în imagini. Elicea are tangenta ei proprie, iar tangenta de ordinul doi este tangentă la axa elicei. Aşadar, axa elicei este traiectoria de ordinul doi a elicei. Axa elicei este o dreaptă. Deci, traiectoria de ordinul doi a elicei este o dreaptă.

Dacă vom alege o traiectorie puţin mai complicată decât elicea (o curbă de precesie constantă, de exemplu), atunci triedrul de ordinul doi va fi „tangent” la axa curbei de precesie constantă, care axă a devenit deja o elice care are şi ea o axă la rândul ei. Mai precis, triedrul de ordinul 3 al curbei de precesie constantă va fi tangent la axa elicei. Atunci, pentru curba de precesie constantă, traiectoria de ordinul doi este o elice, iar traiectoria de ordinul trei este o dreaptă.

Ne putem întreba care este traiectoria de ordinul 3 a elicei. Desigur, ea va coincide cu traiectoria de ordinul 2. Mai exact, pentru orice traiectorie, oricât de complicată ar fi ea, există un ordin, dincolo de care toate traiectoriile de ordin mai mare coincid. Iar traiectoria de ordinul cel mai mare este, în final, o dreaptă. Această dreaptă am numit-o axa traiectoriei. Important este să observăm că din teorema de recurenţă rezultă că orice traiectorie are o axă fixă în spaţiu! Iar acest lucru este copleşitor!

curiosul a scris:Dacă tot e să-ți caut nod în papură, cu ghilimele de rigoare, atunci să privim imaginea :



Ai găsit triedrul de ordinul 2, cel de aceeași culoare.
Tangenta acestui triedru ar trebui să fie tangentă la traiectoria unui corp în mișcare.
Care este această traiectorie ?
Altfel, acest triedru este determinat doar teoretic,
nu atribuit unei traiectorii propriu-zise pentru un corp în mișcare.
Cu siguranță acest triedru de ordin 2 nu poate descrie traiectoria corpului inițial, care are deja triedrul său.
Dacă ar fi atribuit traiectoriei corpului în cauză, atunci am vorbi de triedrul inițial ce ar trebui să descrie traiectoria completă a mișcării corpului.

Deci triedrul de ordin 2, deși verifică teoretic formulele lui Frenet, nu este un triedru asociat traiectoriei unui corp, ci doar dedus teoretic, ca și pentru triedrele de ordin mai mare ca 2.

Sper că mai sus ţi-am clarificat acum acest aspect.

Acum apare o întrebare foarte interesantă :

Au întotdeauna principii verificate matematic, din punct de vedere teoretic, un corespondent în realitatea fizică ?

Presupun că este timpuriu şi chiar irelevant să pui această întrebare în legătură cu teorema de recurenţă. Oricum, în cazul teoremei de recurenţă, răspunsul este pozitiv: da, teorema de recurenţă are corespondent în realitate. De exemplu, consider că planetele în Sistemul Solar se deplasează pe elice, iar Soarele se deplasează pe axa planetelor. Sateliţii se deplasează pe curbe de precesie constantă, iar axa tuturor acestor curbe de precesie constantă este însăşi traiectoria Soarelui. Şi aşa mai departe... Şi sunt convins că exact la fel trebuie să fie şi în lumea subatomică.

În situația de față sunt două explicații.
Fie răspunsul la întrebare este negativ, fie este pozitiv, caz în care demonstrația ta este incorectă.

Continuând, în cel de-al doilea caz, ne întrebăm unde este greșită ?
Dacă nu există o greșeală de logică matematică, atunci principiul lui Godel se aplică și pentru alte cazuri.
Există demonstrații matematice teoretice ce nu pot fi validate sau invalidate.

Demonstrația ta ar putea duce la o nouă filozofie matematică.

Peste raţionamentul acesta am trecut repede, cu speranţa că vei înţelege că este inutil, la exemplele pe care ţi le-am dat deja.

Sunt foarte bucuros că, în sfârşit, cineva îmi înţelege cât de cât frământările, măcar cele despre teorema de recurenţă!  

Ok, încep să înțeleg și pare coerent ce spui.
Dar tot mai trebuie să aprofundez.

Reactiunea (ca forta-fenomen) poate crea recurenta. Dar sunt mai multe necunoscute si apare si teorema de surpriza si incertitudine.
E greu sa presupui ca pufai un rotocol de fum de tigara si se va intoarce singur inapoi in plamani. Posibil sa se piarda intrun curent de aer sau sa-l mai inhaleze si altii, sa le intre si altora in plamani si-n sange.  Pana va iesi s-ar putea sa asteptam o viata.
Recurenta e si o problema de timp si spatiu.
Sigur din tarana suntem facuti, mancam produsele taranei, iar cand murim, ne intoarcem tot in tarana si ne vor manca apoi altii pe noi. Intai viermii, bacteriile, trece apa freatica, cartitele, iesim cumva si devenim iar legume la propriu.
Doar formolul intarzie ciclul recurentei.
Si totusi cunosc un caz cand cineva a tras un glont care a ricosat de mai multe ori si in final a intrat si a ramas in tragator.  Asta da recurenta perfecta.

Totuși, lămurește-mă mai bine.
Un triedru Frenet este un triedru asociat unei traiectorii.
Este adevărat că axa elicei pe care se deplasează un corp poate fi considerată o traiectorie, ipotetică aș zice, dar ea nu este traiectoria propriu-zisă a mișcării corpului.
Dacă asociem axei elicei un triedru, atunci acela este un triedru...ipotetic, nu ?
De asemenea în cazul unei traiectorii mai complicate.

Din punct de vedere logic aici îmi scapă ceva.

Într-adevăr, e o problemă mică aici (de Fizică, nu de matematică), dar hai s-o rezolvăm.

Problema este de centre de masă, de baricentre. Dacă o pereche de corpuri se deplasează pe o aceeaşi elice, atunci centrul lor de masă se va deplasa pe axa elicei. Iată un caz în care axa elicei nu mai este ceva fictiv, ci capătă semnificaţie fizică.

Desigur, acest caz poate fi extins la curbe oricât de complicate şi parcurse de cât mai multe corpuri, precum este, din nou, Sistemul Solar, ori atomul. Doar că în acest caz vor apărea mai multe centre de masă (baricentre), fiecare mişcându-se pe traiectoria de ordin superior a traiectoriei corpurilor implicate. În final sistemul de corpuri va avea o axă fixă în spaţiu pe care se va mişca baricentrul de masa cea mai mare. Aşadar, baricentrele nu se mişcă haotic.

Un observator aflat foarte departe de sistem nu va putea constata decât mişcarea baricentrului de masa cea mai mare. Şi tocmai de aici vine impresia că un corp liber se deplasează pe o dreaptă. Altfel spus, corpul central ne furnizează reperul.

Nu ştiu la câţi dintre voi vă plac termenii şi cuvintele noi, pe care trebuie să le învăţaţi şi să le înţelegeţi sensul, dar eu sunt scârbit când aud un cuvânt "alambicat" pe care nu l-am auzit până acum şi pur şi simplu fug de ele. Nu să mai încerc să văd ce e. Fiindcă eu cred că exact divizarea şi fărâmiţarea asta în toate domeniile a dus la problemele de azi.

Exact astă mă face, Abel, să nu pot să-ţi citesc măcar teoria, deşi ştiu că e mult mai profundă decât teoriile actuale, pornind chiar din denumirea ei, FIZICĂ ELICOIDALĂ.

Te înţeleg. Ceva asemănător mi se întâmplă şi mie uneori. Cât despre Fizica elicoidală, am speranţa că fiecare noţiune a ei este nu doar necesară, ci şi ireductibilă la alte noţiuni. Se pare că ea porneşte de la noţiunile de punct material şi traiectorie, după care s-ar părea că se pot construi toate celelalte noţiuni. Altfel spus, sper că Fizica elicoidală este o Fizică (prima Fizică) ce poate fi axiomatizată.

Pesemne ca ai vazut filmul "Thrive", care te-a marcat.
Filosofia recurentei pe elicoida.

Nu. Nu l-am văzut.

Erick_? Ce mai faci? Mesajele tale ar fi trebuit să abunde pe acest topic. Mort copt?

Abel,
mai am o nelămurire !

Să analizăm spre exemplu, mișcarea unui corp ce descrie o traiectorie mai complicată, astfel încât aplicând teorema de recurență, am ajunge la un triedru de ordin n >2, care nu este atribuit unei traiectorii în linie dreaptă.

Deci plecând de la triedrul de ordin n-1, asociat unei traiectorii ce nu este o dreaptă, prin teorema de recurență se demonstrează că există triedrul de ordin n, ce satisface formulele lui Frenet.

Dar nelămurirea mea acum se datorează faptului că triedrul de ordinul n există doar pentru că vectorul vitezei unghiulare a triedrului de ordin n-1 este perpendicular pe normala acestuia.

Dar dacă triedrul de ordin n-1 nu este asociat mișcării unui corp, ci unei traiectorii imaginare, așa cum ai menționat anterior, atunci  triedrul de ordin n este construit cu vectorul vitezei unghiulare a unei traiectorii imaginare?

Sau, poate avea o traiectorie ce nu este descrisă de mișcarea unui corp viteză unghiulară ?

Consider că viteza unghiulară este atribuită traiectoriei mișcării unui corp, nu unei traiectorii ce nu este descrisă de mișcarea unui corp, caz în care, pentru că teorema de recurență se bazează pe perpendicularitatea vitezei unghiulare pe normală, iar unei traiectorii imaginare nu-i poți asocia o viteză unghiulară, teorema nu este solid fundamentată.

Ce zici ?
Sau înțelegi ce vreau să spun ?

Pesemne că toate nelămuririle tale momentane provin din aceasta:

curiosul a scris:poate avea o traiectorie ce nu este descrisă de mișcarea unui corp viteză unghiulară ?

Pentru a elimina şi această nelămurire va trebui să observi următoarele chestiuni:

-1). Orice corp are în el ceva „imaginar” pe care îl folosim pentru a ne referi la mişcarea sa. Acest „imaginar” este centrul său de masă. Centrul de masă este un punct, iar traiectoria este o mulţime de puncte. Deci, traiectoria este cam tot atât de „imaginară” precum este corpul. În ultimă instanţă, dacă toate corpurile sunt 100% goale pe interior, atunci ce mai este „real” la ele?

-2). Traiectoria „imaginară” poate fi tocmai traiectoria medie pe care se deplasează corpul. Mai precis, traiectoria „imaginară” poate fi parcursă de proiecţia corpului pe acea traiectorie.

-3). Şi acum despre viteza unghiulară a traiectoriei „imaginare”. Să luăm din nou ca exemplu elicea. Traiectoria „imaginară” a elicei este axa acesteia. Teorema de recurenţă ne spune că torsiunea axei elicei este egală cu darbuzianul elicei, iar curbura axei este nulă. Aşadar, teorema de recurenţă ne spune că viteza unghiulară a axei elicei nu este nulă, ci este proporţională cu darbuzianul.


În concluzie, nedumerirea ta va dispărea dacă vei observa că şi dreapta poate avea torsiune. Exemplul cu axa elicei este grăitor: axa elicei are torsiunea dată de radical din suma pătratelor curburii şi torsiunii elicei.

Am tot stat astăzi și ieri, analizând fizica elicoidală, cu tot ce conține ea, inclusiv demonstrația teoremei de recurență.
Deși s-ar putea să te dezamăgesc, o să fiu sincer.

Demonstrația recurenței este destul de abstractă și alambicată.
Deși te pricepi foarte bine să întorci răspunsurile în favoarea principiilor pe care vrei să le susții, deși ele par coerente, deși nu am nivelul de pregătire corespunzător pentru a-mi spune o părere obiectivă, nu pot accepta teorema de recurență.

Este adevărat că tu poți gândi la modul, acestea nu sunt contraargumente solide, dar fizica elicoidală este bazată pur și simplu pe principii pur teoretice, iar din punctul meu modest de vedere, nu descrie nimic nou în realitatea fizică, ce poate fi optimizată în vederea aplicării ei.

Nu există nimic cert care să verifice chiar și aplicarea teoremei de recurență la nivelul sistemului solar.

Nu știm exact nici măcar dacă traiectoriile planetelor descriu elice, iar Soarele pe traiectoria axei acestor elice.

Pentru că nu cred că se poate stabili un reper din perspectiva căruia se pot determina aceste traiectorii.

Acestea ar deriva din teorema de recurență, dar din păcate, din punctul meu de vedere, această teoremă nu este solid fundamentată.
Pentru că toate triedrele de un ordin mai mare sau egal cu 2, sunt atribuite unor traiectorii ce nu au un substrat fizic, oricât ar verifica formulele lui Frenet.

Din punctul meu de vedere, aceasta înseamnă că teorema de recurență este validă pentru o realitate...imaginară.
Poți să-ți imaginezi realitatea într-un infinit de moduri, nu toate verifică realitatea fizică propriu-zisă.

Eu înțeleg că mai toată valoarea ta în cercetări științifice se învârte în jurul teoremei de recurență și a fizicii elicoidale, dar probabilitatea să te înșeli atribuind un caracter primordial fizicii elicoidale în descrierea realității este ridicată.

Argumentele care mă fac să nu cred în teoria ta sunt bazate pe aceleași principii prin care tu nu crezi în Dumnezeu.
Deși nu le pot defini exact, este ceva care nu-mi dă voie să accept.
Chiar dacă te bazezi pe faptul că principiile teoriei tale sunt verificate matematic.
Matematica s-a construit pe baza unor observații fizice concrete.
Matematica unei realități imaginare, cum ar fi viteza unghiulară a unei traiectorii imaginare nu este o matematică ce descrie realitatea.

Principii de genul că "Cum de nu puteți înțelege !" s-ar putea să aibă o cauză de altă natură.
Sunt alții care cred o viață în ceva, sfârșindu-se cu convingerea că dreptatea este de partea lor, deși...
Exemplul religiei, a lui Dumnezeu, iar mai nou al lui Sântio.
A fi sau a nu fi ! Asta-i întrebarea !
Abel, s-ar putea să te înșeli, ia în considerare asta !!!

Desigur, cu siguranță nu vei ține cont de părerile mele, mai ales pentru că vin din partea unuia care nu este pregătit.
Evident, o convingere puternică este o convingere care este susținută prin orice mijloace.

Acum mi-aș dori să-mi spui că sunt curajos !
Nu când te susțin.

Da, îți trebuie curaj să fii sincer într-o lume care vrea să fie mereu gâdilată, dar, fii liniștit, nu e cazul meu. Apreciez orice argument în favoarea sau în defavoarea Fizicii elicoidale, căci el este un pas în plus către progres.

Frumoasa analiza Curiosului, si inclin sa ii dau dreptate.
Problema traiectoriilor corpurilor ceresti este dependenta de timp, astfel daca analizam traiectoria Pamantului pe timp de o milionime de secunda, ea se rezuma la aproximativ un punct, daca analizam aceiasi traiectorie pe timp de o secunda, ea se rezuma la un segment de dreapta lung de 3o km, daca analizam traiectoria pe timp de o luna de zile, ea seamana cu un arc de parabola, iar daca analizam aceiasi traiectorie pe un an de zile, observam ca este o elipsa. Daca continuam analiza pe termen de o mie de ani, vedem ca inregistram abateri asupra perihelilui, iar daca analizam traiectoria pe o perioada de un milion de ani , sau mai mare, vom observa ca aceasta formeaza un fel anvelopa ca o tesatura de elicii a caror axa este un cerc.
Consider ca raportat la timpul nostru de viata, cea mai corecta apreciere asupra traiectoriilor corpurilor ceresti ramane elipsa.

Teorema de recurenţă ar spune altceva, Virgil. Dac-ai înţelege-o, ai vedea că ea spune că, în ordinea complexităţii, după dreaptă vine o elice, apoi după o elice vine o curbă de precesie constantă (elice de ordinul doi), apoi o curbă de nutaţie constantă (elice de ordinul trei) şi aşa mai departe.

Aşadar, pentru intervale scurte de timp (care neglijează Soarele), traiectoria Pământului poate fi considerată o dreaptă. Pentru intervale mai lungi de timp (dar care neglijează, totuşi, Galaxia), traiectoria Pământului trebuie considerată o elice (iar a Soarelui o dreaptă). Şi aşa mai departe.

Altfel spus, între o dreaptă şi o elice nu există nicio altă curbă posibilă.

Vis-a-vis de sistemul Solar, tu vrei să spui că dacă Pământul descrie o mișcare de rotație în jurul Soarelui, indiferent ce traiectorie descrie mișcarea Soarelui față de un reper exterior, față de acel reper, traiectoria Pământului este un fel de elice.
Soarele triedrul de ordin 1, Pământul triedru de ordin 2.
Dacă sistemul Soare-Pământ descrie în mișcare o traiectorie, față de un reper exterior sistemului,
Sistemul va fi triedru de ordin 1, Soarele triedru de ordin 2, pământul triedru de ordin 3.

Și tot așa.

Dar printr-o interpretare fizică, în funcție de repere alese convenabil, un triedru de ordin x, poate fi un triedru de ordin y.

Carevasăzică, triedrul de ordinul n nu este unic.
Unic este doar triedrul lui Frenet, care este asociat mișcării unui corp și nu depinde de o origine carteziană.
Dacă mai încercăm construirea altor triedre, ordinul acestora poate fi confundat în funcție de reperul ales și nu mai sunt caracterizate prin unicitatea lor.

Printr-o interpretare matematică, asta ar însemna că valorile formulelor triedrului de ordin n pot fi echivalate cu ale unui, sau unor triedre de ordin diferit de n.

Aceasta oare mai verifică matematic recurența ?

Nu. Toate consideraţiile despre traiectorii le facem faţă de unul şi acelaşi reper pentru toate triedrele. Teorema de recurenţă porneşte de la curbura şi torsiunea unei curbe stabilite într-un anumit reper cartezian, şi nu schimbă reperul pe măsură ce trece la ordine superioare. Doar că faţă de un reper „solidar” cu corpul, traiectoria este o dreaptă.

Păi proprietățile triedrului Frenet nu depind de reperul cartezian, în timp ce

Abel Cavaşi a scris:Toate consideraţiile despre traiectorii le facem faţă de unul şi acelaşi reper pentru toate triedrele.

Asta înseamnă cumva că triedrul de ordin n depinde de reperul triedrului n-1 ?