Impartirea cu rest

De ceva timp ma preocupa o problema interesanta legata de factorizare si suma la care nu I-am dat de capat.

Cum aflam cel mai mic numar care impartit la n da restul m, impartit la n(1) da restul m(1), impartit la n(2) da restul m(2),...
Cum aflam numarul  respectiv in functie de numerele la care este impartit si resturile obtinute ?

Incerc de ceva timp sa gasesc o formula generala in functie de numerele la care este impartit n, n(1), n(2), n(3),... si resturile obtinute m, m(1), m(2), m(3),... pentru a afla numarul respectiv, dar se pare ca problema ma depaseste.

Are cineva vreo idee ?
Se poate generaliza o asemenea formula ?

Subliniez cel mai mic numar care satisface conditia, pentru ca celelalte, adica o infinitate, se pot gasi usor in functie de acest cel mai mic numar.

Are cineva vreo idee ?
Desi calculez si analizez numerele zilnic, sunt foarte familiarizat cu factorizarea, zic eu, nu am gasit inca o asemenea formula.
Mai mult, problema este legata si de suma, iar o asemenea formula am reusit sa o leg si de distributia numerelor prime, in special determinarea lui P(n+1) in functie de P(n), precum si cu  conjectura lui Goldbach.

Orice idee este binevenita.

Dar e foarte simplu :
e catul de inmultit cu numarul respectiv + restul !
Ce-i asa complicat ? Se invata in a treia.

STATUL IMPARTE TOTUL CU POPORUL, DUPA REGULA UNA MIE, UNA TIE, UNA-N GURA LUI ILIE (FLOAREA DE GURA LEULUI)  
ION TUDOR

I-adevarat, pare simplu CAdi, dar crede-ma ca nu-i chiar asa.
Sau poate m-am prostit eu rau de tot, cine stie ?

Uite cam ce am vrut sa spun.

Sa presupunem ca avem un numar care impartit la 7 da restul 3, impartit la 19 da restul 10, impartit la 31 da restul 17, impartit la 43 da restul 21.

Afla te rog acel numar pe baza unei formule generale, sau gaseste o formula generala care sa determine numarul considerat initial, indifferent la ce numere il impartim si resturile imartirii la acel numar.

Nu-mi da numarul din exemplul de mai sus, da-mi formula prin care il aflam!
Ca asa, daca o luam prin calcule propriu-zise, fireste ca putem gasi acel numar, dar eu vreau ceva care generalizeaza situatia.

Mai este asa de simplu ?
Poate ca da, cine stie, dar eu m-am chinuit ceva timp sa o gasesc fara rezultat.
Ai vreo idee ?
Aveti vreo idee, ca vad ca a mai intervenit un matematician, care este de aceeasi parere sau poate ca si el nu a inteles bine ce am vrut sa spun.
Poate am fost mai explicit acum.

X=Yt +r (pentru X,Y,t si r apartin lui R)

Desi n-ai dezvoltat, am inteles ce-ai vrut sa spui.
Acum generalizeaza relatia pentru un numar ce trebuie impartit la mai multe numere, indifferent cate, si la resturile obtinute.

adică ai doar un șir de resturi, celelalte numere sunt variabile necunoscute, și doar cu ajutorul lor, în exemplul tău avem șirul (3, 10, 17, 21), să aflăm valorile lui X, Y și t?

Nu chiar, totedati.
Ceea ce ma framanta mai exact, si pentru care nu gasesc o formula generala este un pic diferit de cum ai interpretat tu.

Eu vreau sa gasesc un numar, pe baza unor conditii initiale.
Aceste conditii initiale sunt cele prezentate anterior.
Problema pare sa nu fie totusi atat de simpla.

curiosul a scris:Sa presupunem ca avem un numar care impartit la 7 da restul 3, impartit la 19 da restul 10, impartit la 31 da restul 17, impartit la 43 da restul 21

Care este acel numar ?

De fapt problema principala este care este cel mai mic numar care satisfice conditiile de mai sus, pentru ca exista o infinitate.
Daca am presupune ca acel numar este n, atunci orice numar de forma k*17*19*31*43+n, k natural nenul, va fi un numar care satisfice conditiile de mai sus.
Dar trebuie sa-l aflam pe acel n, cel mai mic numar care satisfice conditiile.

Daca ma apuc de calculate propriu-zis il gasesc, dar poate fi determinata o formula care-l gaseste pe baza acestor resturi si numere la care trebuie impartit ?
Dar daca in loc de 4 numere la care trebuie impartit si 4 resturi obtinute sunt n numere si n resturi ?
Formula este valabila ?
Cam asta caut eu.
O asemenea formula mi-ar fi tare folositoare si i-am gasit aplicatii foarte interesante in teoria numerelor.

De fapt, o problema asemanatoare, destul de interesanta, este urmatoarea :

Sa se demonstreze ca exista o infinitate de numere naturale care impartite la se obtin resturile indiferent care sunt numerele naturale

curiosul a scris:De fapt, o problema asemanatoare, destul de interesanta, este urmatoarea :

Sa se demonstreze ca exista o infinitate de numere naturale care impartite la se obtin resturile indiferent care sunt numerele naturale

Solutia am dat-o mai sus .
Ce este in neregula ?

Curiosule te-am citit si recitit si tot nu imi dau seama ce vrei sa intrebi.
Ma bucur ca ai revenit la "prima ta dragoste" ca dincolo... (nu vreau sa intru in amanunte)    

OK, hai sa detaliez un pic, dar sa fac o scurta paranteza mai intai.

Intr-adevar, la nivel teoretic, problema cealalta despre care mentionezi, cea din fizica, s-ar putea sa ma depaseasca si cu siguranta nu am suficiente informatii.

Nu vreau sa ma dau grande, dar pur si simplu nu-mi pot imagina, urmand o continuitate logica, materializarea fizica a ecuatiilor despre care vorbiti in relativitate, sau cel putin doar cele pe care cred ca le-am inteles bine.
Nu pot sa vad in mintea mea spatii curbate si contractate nici sa-mi pui pistolul la cap.
Nu pentru ca sunt eu incapatanat sau ca nu m-ar ajuta materia cenusie, ci efectiv mi se pare gresit interpretat sensul fizic al acelor ecuatii.

Punct cu asta, nu intram in detalii si, din nou, in polemici.

Revenim la impartirea cu rest.

Numerele astea, desi n-am mai vorbit pe forum despre ele, continua sa umple pagini peste pagini prin caietele mele.
Ideea este ca in mintea mea, am incercat sa reduc si sa convertesc factorizarea numerelor la impartiri cu rest.
Evident, daca restul este zero, numarul nu este prim.
Daca impartirile unui numar la altele, sau la toate celelalte, obtin resturi diferite de zero, numarul este prim, sau probabil prim.
Asadar, am incercat sa nu mai stabilesc primalitatea prin definitia clasica, cea prin faptul ca nu se imparte exact la niciun numar cu exceptiile corespunzatoare, ci analizand resturile, sau daca exista o relatie intre resturile obtinute prin eventuale impartiri ale unui numar la anumite numere.

Desi pare simplu la prima vedere, problema este de o complexitate ridicata, echivalenta cu stabilirea primalitatii unor numere ceva mai mari.

Sa lasam pentru inceput ultima problema, care nu este totusi suficient de bine definita dupa cum am realizat ulterior si sa o reluam pe cea initiala :

curiosul a scris:Sa presupunem ca avem un numar care impartit la 7 da restul 3, impartit la 19 da restul 10, impartit la 31 da restul 17, impartit la 43 da restul 21
Care este acel numar ?

Edit :
CAdi, n-ai dat nicio solutie din punctul meu de vedere. Care este aceea solutie ?
Mai mult, cum ai ajuns la ea ?

Orakle, ceea ce ma intereseaza, plecand de la acest exemplu, este generalizarea unei formule care gaseste cel mai mic numar ce indeplineste conditiile de mai sus, adica prin impartirea la acele numere se obtin acele resturi.
Pentru ca exista o infinitate de numere.
Odata gasit acel cel mai mic numar, restul infinitatii de numere care satisfac aceasta conditie sunt determinate de o formula bine definita.
Nici eu nu l-am calculat, macar de curiozitate, dar sunt aproape sigur ca numarul trebuie sa aiba cel putin patru cifre, daca nu cumva chiar cinci cifre.
Vorbim de acest cel mai mic numar care satisface conditiile puse, restul evident sunt mai mari.

Dar, problema principala este urmatoarea.
Alegem aleatoriu x numere si x resturi, indifferent de valoarea lor.
Exista un numar care impartit la acele x numere sa obtinem exact acele x resturi, respectand asocierea numerelor cu resturile corespunzatoare lor prin impartirea la acel numar ?

Uite, ia pentru moment exemplul de mai sus si calculeaza care este acel numar.
Incearca ulterior sa gasesti raspunsul printr-o formula care determina solutia si nu prin calcul propriu zis, ca la calcule nu-i greu, mai greu este sa generalizezi situatia, indiferent despre ce numere vorbim.

Hai sa o luam batraneste sa pricep si eu exact ce vrei.
Cea mai buna cale este exemplul pe care l-ai dat.Desi numerele sunt cam mari.
Notam numarul cu X din enuntul pe care l-ai formulat rezulta:
X=7a+3
X=19b+19
X=31c+31
X=43d+21
Am obtinut un sistem de 4 ecuatii cu 5 neconoscute pentru inceput eliminam pe X cu ajutorul primei ecuatii si obtinem un sistem de 3 ec cu 4 necunoscute
7a+3=19b+19
7a+3=31c+31
7a+3=43d+21
rez:
7a-19b=16
7a-31c=28
7a-43d=18
rez:
7a-19b+ 0c+ 0d=16
7a+ 0b-31c+ 0d=28
7a+ 0b+ 0c-43d=18
bineinteles ca acest sistem nu are o solutie unica.Gasim un minor de ordinul 3 al carui determinant este diferit de zero.L-am ales pe:
7 19  0
7  0 31  
7  0  0
al carui determinant este  7*19*31=4123 diferit de zero
Renotam pe d cu un y si il consideram un parametru,rezulta:
7a+19b+ 0c=16
7a+ 0b+31c=28
7a+ 0b+  0c=18-43d
Urmeaza sa rezolvam acest sistem si sa gasim valorile lui a,b,c in functie de parametrul y
Vezi daca este corect pana aici.Jocul greseala asteapta.Daca nu le ai cu calculul determinatilor rezolva sistemul babeste sa vedem daca obtinem acelasi rezultat.
Cu determinanti e mai general poti obtine mai multe informatii (si mai usor de generalizat)

curiosul a scris:

Revenim la impartirea cu rest.


Sa lasam pentru inceput ultima problema, care nu este totusi suficient de bine definita dupa cum am realizat ulterior si sa o reluam pe cea initiala :

curiosul a scris:Sa presupunem ca avem un numar care impartit la 7 da restul 3, impartit la 19 da restul 10, impartit la 31 da restul 17, impartit la 43 da restul 21
Care este acel numar ?

Edit :
CAdi, n-ai dat nicio solutie din punctul meu de vedere. Care este aceea solutie ?
Mai mult, cum ai ajuns la ea ?

.

E foarte simplu : pentru orice numar X impartit la un numar Y daca avem catul t si restul r ,numarul X se gaseste cu formula :

X= Yt+ r Ce-i asa greu ?   

.[/quote]

E foarte simplu : pentru orice numar X impartit la un numar Y daca avem catul t si restul r ,numarul X se gaseste cu formula :

X= Yt+ r Ce-i asa greu ?   [/quote]

E adevarat ce spui tu dar nu ai rezolvat problema data.
Se cere care este numarul cel mai mic care verifica toate cele 4 conditii impuse.

Este nr.1   

  

CAdi a scris:Este nr.1   

Nu-i rau ce-ai facut Orakle, dar am analizat aceasta modalitate prin sisteme de ecuatii si nu-i dau de capat, nu gasesc ceea ce vreau eu.
Ia dezvolta mai departe rezultatul la care ai ajuns tu, mai mult ai patru necunoscute in trei ecuatii si s-ar putea sa fie ceva mai dificil zic eu, ca sa vezi daca dai de a, b, c, d.

Edit :
Nu CAdi, nu-i 1, sau eu cel putin ma refer la numere normale.

curiosul a scris:Nu-i rau ce-ai facut Orakle, dar am analizat aceasta modalitate prin sisteme de ecuatii si nu-i dau de capat, nu gasesc ceea ce vreau eu.
Ia dezvolta mai departe rezultatul la care ai ajuns tu, mai mult ai patru necunoscute in trei ecuatii si s-ar putea sa fie ceva mai dificil zic eu, ca sa vezi daca dai de a, b, c, d.

Nu gasesti pentru ca daca le calculezi babeste nu lucrezi suficient de ordonat astfel incat sa "vezi" posibilitatea de generalizare.In orice caz eu  intrevad ca se va putea generaliza relativ usor pentru n ecuatii.Problema de optimizare (a gasi minimul) am stiut sa o fac dar din pacate deja am uitat-o. Metoda foloseste tot matrici si se aplica in matematica economica Pentru inventia ei s-a luat un premiu Nobel undeva in ani 50-60.
Continuam deseara.

Pare destul de interesant ce zici si mi-ai starnit un pic interesul.
Vis-a-vis de premiul Nobel ma cam indoiesc un pic pentru ca nu prea se acorda in matematica, probabil vorbesti de cel Fields.
Chiar cunosc o povestioara interesanta referitoare la faptul ca nu se acorda Nobel in matematica.

Oricum, nu ma intereseaza aceste aspect, ci efectiv formula generalizata pentru n, pentru ca daca am analizat bine i-am gasit ceva aplicatii foarte interesante pe care eventual ti le voi spune ulterior, odata ce avem formula.

Sincer, ma indoiesc, pentru ca problema este destul de complicata si este strans legata cumva de distributia numerelor prime.

Nu-ti voi putea raspunde diseara, dar tinem aproape.

Sunt tare curios ce formula ai gasit tu la un moment dat, sau poate, cine stie, nu vorbim despre acelasi lucru.

Tu scrie-mi ceea ce consideri, indiferent de cum si ce ai inteles, iar o sa-ti spun ulterior unde nu ne sincronizam parerile si eventual formulele.

Nu pentru matematica s-a premiat ci pentru economie.Are niste aplicatii economice importante privind minimizarea costurilor sau maximizarea eficientei.Sunt si programe foarte bune facute pe baza acelui algoritm (de exemplu in eficientizarea transporturilor de marfuri)
Ma rog...hai sa ne vedem de treaba ca in cazul tau lucrurile sunt mult mai simple. Sa revenim la subiect  sa vedem daca obtinem ceva interesant sau batem campii.

M-am apucat sa calculez si doar dupa am observat ca deja in prima relatie s-a strecurat o greseala   
X=7a+3
X=19b+19
X=31c+31
X=43d+21    este incorect
hai ca il fac azi sau maine intr-un notepad si dupa ce vad ca e totul bine ii dau paste

Se rezolvă în mulţimea numerelor întregi sistemul:
N=7a+3=19b+10=31c+17=43+21 şi se obţine că N=177289t+159078 unde t este un număr întreg oarecare.Rezultă că sunt o infinitate de numere care respectă acele condiţii de împărţire cu rest...Care este cel mai mic număr pozitiv N care respectă acele condiţii de împărţire cu rest?Care este cel mai mare număr negativ N care respectă acele condiţii de împărţire cu rest?

Corect Dacule !
Dar cum ai rezolvat sistemul ?
Cel mai mic numar care satisfice conditiile este 159078, pentru ca daca ar fi unul mai mic, acest numar, 159078, ar trebui sa fie mai mare ca produsul 7*19*31*43=177289, iar pentru ca nu este mai mare ca acel produs, inseamna ca numarul 159078 este cel mai mic numar care satisfice conditiile.

Ia dezvolta un pic cum ai rezolvat sistemul ca eu nu stiu sa-l fac.
Dar nu ma trimite la matrici sau mai stiu eu ce sisteme de ecuatii, ci efectiv dezvolta cum ai ajuns la rezultat.
Ce ma intereseaza este o formula generala si poate se poate deduce din modul in care ai ajuns la rezultat, altfel, inclin sa cred ca l-ai gasit prin calcule propriu-zise, simple dar ceva mai multe.

Partea cu negativele nu ma mai intereseaza ca nu am nevoie de asta.

curiosul a scris:Corect Dacule !
Dar cum ai rezolvat sistemul ?


Partea cu negativele nu ma mai intereseaza ca nu am nevoie de asta.

Eu nu vad cum ai constatat curiosule ca e corect :


N=7a+3=19b+10=31c+17=43+21 şi se obţine că N=177289t+159078
adica N= 43+21=7a+3=177289t+159078=64?

sau N=7a+3 identic N=177289t+ 159078 ?

Nu Cadi, este correct ce a scris Dacu !

CAdi a scris:N= 43+21=7a+3=177289t+159078=64

Langa 43 mai trebuia pus ceva, un d, adica 43*d+21, dar nu asta este nelamurirea mea.
Este o egalitate care depinde de valorile lui a, b, c, d si t.
Nici astea nu ma intereseaza, aceste valori a, b, c, d, t, ci cel mai mic numar care satisfice conditiile pe care le-am pus, alese aleatoriu de altfel, pentru ca ma intereseaza o generalizare a problemei.

Am tot calculat si rascalculat ceea ce a scris Dacu si nu inteleg deloc cum a obtinut el la rezultatul :

Dacu a scris:Se rezolvă în mulţimea numerelor întregi sistemul:
N=7a+3=19b+10=31c+17=43+21 şi se obţine că N=177289t+159078

Nu stiu de ce inclin sa cred ca ca l-a obtinut prin calcul numeric si nu prin dezvoltarea algebrica a egalitatilor.
Eu nu am reusit si am convingerea ca nu se poate ajunge la rezultatul obtinut de Dacu, dar cine stie, poate nu am dezvoltat cum trebuie acele egalitati, desi ma indoiesc ca si eu le-am rasucit pe toate partile.

CAdi a scris:

curiosul a scris:Corect Dacule !
Dar cum ai rezolvat sistemul ?


Partea cu negativele nu ma mai intereseaza ca nu am nevoie de asta.

Eu nu vad cum ai constatat curiosule ca e corect :


N=7a+3=19b+10=31c+17=43d+21 şi se obţine că N=177289t+159078
adica N= 43d+21=7a+3=177289t+159078=64?

sau N=7a+3 identic N=177289t+ 159078 ?

De fapt, nu ti-am raspuns la intrebare si am mai adaugat eu un d langa 43, acel d despre care ti-am vorbit anterior.

Pai singura modalitate prin care am constatat ca este correct este cea prin calcul numeric.
Am impartit restul 159078 la numerele 7, 19, 31, 43 sa vad daca obtin resturile 3, 10, 17 si respectiv 21.
Le-am obtinut.
Am observant ca produsul 7*19*31*43 adica 177289 este mai mic decat 159078 si asta este o conditie necesara si suficienta pentru a stabili ca 159078 este cel mai mic numar care impartit la 7, 19, 31, 43 se obtin resturile 3, 10, 17 si respectiv 21.

Explicatia este simpla.

Vrei sa spui ca pentru caturile 7, 19,31,43 obtii resturile 3,10,17 si 21 cu formula lui ?  

CAdi a scris:Vrei sa spui ca pentru  caturile 7, 19,31,43 obtii resturile 3,10,17 si 21  cu formula lui ?  

Pentru impartitorii 7, 19, 31, 43, nu pentru caturi.
Aceste numere, 7, 19, 31, 43 sunt numerele la care trebuie impartit numarul N, nu caturile rezultate.
Si numai prin aceea formula se obtin resturile respective !

Pentru t egal cu zero obtii acel cel mai mic numar despre care tot vorbeam.
Pentru oricare alt numar, diferit de cel determinat de formula, pentru cel putin unul din numerele 7, 19, 31, 43 obtii un rest diferit de cele mentionate mai sus,  corespunzatoare lor.

Da ? Da-mi exemplu .

Alege tu ca nu-i greu.
Dar ma intereseaza cum a ajuns Dacu la rezultatul obtinut prin dezvoltarea egalitatilor.

Sunt convins ca a folosit un calculator si informatiile pe care i le-am dat ca sa gaseasca rezultatul si nu prin dezvoltari matematice algebrice, pentru ca nu se poate ajunge la acel rezultat dezvoltand egalitatile alea.

Dar nu calcule numerice ma intereseaza, ca alea-s floare la ureche, ci determinarea unei formule generale care gaseste astfel de numere prin astfel de conditii.