Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Am scris recent pe blogul meu un material în care spuneam că proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară poate fi chiar şi un segment de dreaptă, nu neapărat un punct. Voi ce părere aveţi despre asta, ce utilitate găsiţi pentru acest fapt?

Abel,
Viata este si asa complicata ,de ce ne-o mai complicam si noi?
Dar ca sa-ti raspund la intrebare, proiectia unei drepte pe o dreapta perpendiculara poate fi un segment de dreapta numai daca spatiul este curb.(nu glumesc)

Iată că opinia lui CAdi este sinonimă cu cea postată iniţial de mine pe blog: "Pentru ca totuşi proiecţia unei drepte perpendiculare pe alta să fie un segment este necesar ca dreapta respectivă să fie definită într-un spaţiu neeuclidian (eventual eliptic)"

Abel, aş fi curios cum demonstrezi tu, matematic, faptul că proiecţia unei drepte perpendiculare pe o alta poate fi un segment. Poţi face o demonstraţie riguros matematică pentru această ipoteză?

Daca spatiul este curb,atunci acest spatiu curbeaza si proiectia.S-ar ajunge tot la un punct.

Daca spatiul este curb,atunci acest spatiu curbeaza si proiectia.S-ar ajunge tot la un punct.

Eu afirm că dacă avem o dreaptă OX construită într-un plan euclidian şi o alta OY perpendiculară pe prima în punctul O, doar dacă planul ce conţine pe OY este curb, atunci proiecţia lui OY este un segment şi este de mărime identică cu dublul valorii razei de curbură a planlui ce conţine pe OY.

Logic,asa ar trebui sa fie Razvan.Poate si teoretic.Dar practic,dupa parerea mea este imposibil.
Ca si in numere,ar interveni partea reala si partea imaginara.
Daca planul ce contine OY este curb,proiectiile tuturor punctelor dreptei OY , fara punctul O,sunt pur imaginare,ele nereprezentand proiectii reale,datorita curburii planului care ar determina ca toate proiectiile punctelor lui OY sa treca prin O.
Este ca atunci cand mergi pe marginea unei gropi adanci rotunde.Ca sa ajungi in punctul diametral opus,trebuie sa inconjori.Nu o poti lua pe de-a dreptul.Tu te poti imagina mergand asa,dar nu poti.Daca totusi incerci,vocea ta va deveni ecou.
Sper totusi sa nu ma insel,afirmand asta,si nu te impiedica nimic sa ma contrazici.In felul asta poate imi dau seama si unde gresesc,gandind asa.

Iată cum vad eu lucrurile:

Dacă OY este definită într-un plan neeuclidian, deci curb (în exemplul meu este o sferă), atunci proiecţiile punctelor ce compun OY pe OX determină un segment, AB, egal ca mărime cu dublul razei de curbură a planului respectiv. E de la sine înţeles că în cazul în care curbura tinde către infinit, atunci planul ce conţine OY va deveni euclidian.
N-am înţeles de ce zici că proiecţiile dreptei OY pe OX sunt imaginare.
În altă ordine de idei: eu am mai afirmat pe blogul lui Abel şi că: "Putem ajunge la concluzia ta doar dacă atribuim punctelor valori discrete, cuantificabile. Matematic, orice punct este adimensional. Fizic, nu poate fi chiar aşa, orice "punct" are chiar o valoare discretă, dimensiunea lui putând fi apreciată în funcţie de precizia măsurătorii.
Aşadar, concluzia ta, cum că proiecţia unei drepte perpendiculare pe alta poate fi un segment, cu toate că nu o consider riguros matematic a fi corectă, o pot considera adevărată din punct de vedere fizic."
Adică, dacă asociem unui punct o valoare discretă, de o unitate, atunci proiecţia dreptei OY pe OX va fi un segment de dimensiune egală ca valoare chiar cu unitatea.

Într-adevăr, există o legătură între proiecţia dreptei şi geometriile euclidiene, aşa cum dealtfel am şi afirmat eu însumi pe blog:

Pentru că dacă aţi putea demonstra aşa ceva, atunci aţi putea demonstra şi că printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la acea dreaptă. Deci, aţi putea demonstra postulatul euclidian al paralelelor şi, implicit, aţi putea demonta toate geometriile neeuclidiene apărute în decursul istoriei datorită acestei imposibilităţi.

Dar spaţiul curb este mai puţin intuitiv decât propunerea mea privind proiecţia dreptei, căci este imposibil să înţelegem ce este aceea o dreaptă curbă. Eu arăt că, fără nicio ipoteză suplimentară care să „curbeze” dreptele, putem explica de ce nu avem certitudinea că printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la acea dreaptă.

Demonstraţia matematică riguroasă a faptului că proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară este un segment este echivalentă cu demonstraţia din analiza de clasa a XI-a a faptului că produsul dintre infinit (lungimea dreptei) şi zero (cosinusul unghiului drept) este o nedeterminare (deci nu este strict nul).

Demonstraţia matematică riguroasă a faptului că proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară este un segment este echivalentă cu demonstraţia din analiza de clasa a XI-a a faptului că produsul dintre infinit (lungimea dreptei) şi zero (cosinusul unghiului drept) este o nedeterminare (deci nu este strict nul).

Abel, o nedeterminare nu văd de ce ar presupune că poate avea orice valori, in cazul nostru valori finite (segment de dreaptă). Prin definiţie, nedeterminare presupune că nu se pot determina valorile respective, nicidecum că poate avea orice valoare. Poţi încerca să demonstrezi (chiar şi pentru un caz particular) că un produs de genul infinit ori zero poate avea o valoare finită?

Dar tu poţi să demonstrezi că nedeterminarea noastră are valoare nulă? Dacă nu poţi, atunci care este valoarea generică, nu una finită?

Eu nu pot să demonstrez atribuirea unei valori, finită sau nulă, unei nedeterminări. Dar, am considerat că tu ar trebui să faci asta, fiind ipoteza ta.

Ipoteza mea era că are o valoare. Această valoare trebuie să fie câtva chiar dacă noi nu putem stabili cât este. Aşa că rămâne să o considerăm finită. Ce alte opţiuni mai vezi tu că ar fi? Nu este singura opţiune?

Dacă are o valoare, e clar că acea valoare este şi finită. Dar cum demonstrezi ipoteza ta, că are o valoare?

Păi chiar şi valoarea nulă e tot o valoare. Deci, ce trebuie să demonstrez, de fapt? Că există proiecţia?

Păi dacă valoarea e zero, inseamnă că proiecţia e un punct. Dar tu ai afirmat că proiecţia poate fi un segment, deci are o valoare finită, diferită de zero. Poţi demonstra asta?

Ne învârtim în jurul cozii, Răzvane... Acuma chiar vrei să încep de la început? Eu zic că dacă reciteşti, vei găsi răspunsul.

În regulă! Văd că nu te-am convins că proiecţia poate fi un segment doar în cazul când unul din spaţiile ce conţine una din dreptele perpendiculare este neeuclidian, sau dacă atribuim punctului o dimensiune cuantificabilă.
Mai aştept şi alte păreri, cu privire la acest aspect, din partea altor membri ai forumului.

Ok!
Hai sa te ajut Razvan:
Daca intersectia dintre doua plane (in geometria euclidiana) perpendiculare unul pe celalat se realizeaza dupa o dreapta ,intersectia dintre un plan ,,curb'' si un plan din geometria euclidiana perpendiculare unul pe celalat este o dreapta curba.
Proiectia dreptei curbe pe dreapta din planul euclidian va fi un segment de dreapta(daca cele doua plane sunt finite)

CAdi, aici nu e vorba de dreapta după care se intersectează două plane ci de două drepte, perpendiculare, conţinute în planuri diferite.

Proiectia dreptei curbe pe dreapta din planul euclidian va fi un segment de dreapta(daca cele doua plane sunt finite)

Nu vorbim nici de planuri finite căci aceasta ar genera, normal, proiecţii finite. E vorba de drepte (deci infinite - prin definiţie) aparţinând fiecare câte unui plan (deci şi el infinit - prin definiţie).

Fiind vorba de drepte infinite, inseamna ca de fapt sunt geodezice care avand raza de curbura foarte mare pot fi considerate drepte, cel putin in apropierea punctului de intersectie. Cele doua geodezice perpendiculare in punctul de intersectie nu au proiectii una pe cealalta din punct de vedere teoretic. Dar daca privesti practic lucrurile, si materializezi dreptele infinite prin doua raze laser perpendiculare, atunci proiectia unei drepte pe cealalta reprezinta un punct care coincide cu punctul de intersectie. Caci ce inseamna proiectie, decat imaginea proiectata de lumina.

Mie mi se pare clar cele scrise de mine, dar pentru tine Razvan:
Intersectia celor doua plane perpendiculare (desenate de tine) este o dreapta (d) care este perpendiculara pe cele doua drepte desenate de tine N1 si N2.Proiectia ei pe fiecare din cele doua drepte este un punct
Intersectia a doua plane,, perpendiculare'' unul din spatiul curb (sa-i spunem plan curb) si planul euclidian este o dreapta curba(un fel de arc de cerc) Proiectia acelei drepte pe o dreapta din planul euclidian cu care se intersecteaza este un segment de dreapta si nu un punct!

P.S.
Planurile trebuie sa fie fie finite . Abel vrea sa aratam ca proiectia unei drepte este un segment (de fapt a pus gresit problema; proiectia a doua segmente de dreapta perpendiculare este tot un segment, altfel proiectia intersectiei dintre planul curb si planul euclidian cu dreapta din planul euclidian va fi tot o dreapta

Atunci hai să concluzionăm:
Proiecţia poate fi un segment doar dacă vorbim despre proiecţia (unul pe celălalt) a două segmente aflate în planuri diferite sub un unghi de incidenţă alfa.
În cazul în care vorbim despre drepte (geodezice), aflate în planuri diferite sub un unghi de incidenţă alfa, atunci proiecţia (a uneia pe cealaltă) va fi tot o dreaptă.
În ambele cazuri, atunci când planele sunt perpendiculare, proiecţia va fi un punct, indiferent că este vorba de segmente sau drepte.

Am scris recent pe blogul meu un material în care spuneam că proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară poate fi chiar şi un segment de dreaptă, nu neapărat un punct. Voi ce părere aveţi despre asta, ce utilitate găsiţi pentru acest fapt?

Trebuie sa mai dai niste detalii; este vorba de geometria euclidiana? care este sistemul cartezian in care se face figura? dreptele considerate perpendiculare, fac vreun unghi fata de axele de coordonate ale sistemului ales?
Apoi vom putea da raspunsuri complete si corecte.

Un plan euclidian se considera pependicular pe un plan curb daca o dreapta dusa in planul euclidian la intersectia celor doua plane formeaza impreuna cu intersectia sau cu o alta dreapta dusa in planul curb in punctul de intersectie unghiuri egale de o parte si de alta.

In geometria euclidiana nu exista plane curbe, insa poti vorbi de suprafete cilindrice. Intersectia unui plan cu o suprafata cilindrica, se face dupa o linie curba, iar o dreapta nu poate fi perpendiculara pe o curba, dar poate fi perpendiculara pe planul care contine curba. Notiunea de perpendiculara inseamna ca intre cele doua drepte sa fie un unghi de 90 grade. Dar o dreapta poate fi normala intr-un punct la o curba, atunci cand dreapta cade perpendiculara pe tangenta la curba in punctul considerat.

Virgil, cine a spus ca avem plane curbe in geometria Euclidiana!
Imi atribui afirmatii pe care nu le-am facut niciodata!
Te rog sa nu mai faci afirmatii pe ceva ce eu nu am declarat.
Este vorba de o intersectie intre doua plane din spatii distincte asa cum probabil ca ar putea exista si in spatiul cosmic...Eu am definit notiunea de perpendicularitate intre un plan euclidian si altul curb...Te rog sa citesti cu atentie articolele mele si sa nu-ti mai inchipui tu altceva decat scriu eu...
P.S./
Si inca ceva ..un plan curb nu este neaparat un plan cilindric sau sferic (convex sau concav) ci un plan asemanator fractalilor...

Putem vorbi despre perpendicularitate,intr-un spatiu curb?
Pentru ca spatiul curb trebuie sa aiba proprietati diferite fata de cel euclidian si,sincer,nu inteleg cum ar putea interfera proprietatile lor,strict matematic,astfel incat, proiectiile "euclidiene" sa se realizeze la fel ca cele "neeuclidiene"
Explicatia voastra are logica simpla si usor de inteles.Ce nu inteleg eu,este daca se poate proiecta planul curb intr-o maniera specifica planului drept.

Un plan euclidian se considera pependicular pe un plan curb daca o dreapta dusa in planul euclidian la intersectia celor doua plane formeaza impreuna cu intersectia sau cu o alta dreapta dusa in planul curb in punctul de intersectie unghiuri egale de o parte si de alta.

Pentru Cadi; Din postarea ta anterioara rezulta ca te afli in geometria euclidiana, si nu in alt spatiu cu o geometrie curba. Daca te superi, este problema ta, a modului cum te-ai exprimat, iar daca vrei sa amesteci mere cu pere, obtii cel mult un compot, nu o alta geometrie. Ceia ce in geometria euclidiana este curba, in geometria curba are caracterul de dreapta, si invers, asa ca nu le poti amesteca, decat in gluma.

Pentru Curiosu,
Cum poti sa definesti proiectia a doua drepte perpendiculare ca fiind un...segment de dreapta daca nu ai avea un spatiu curbat?
De aceea am intervenit cu un plan din geometria euclidiana spre a ma face inteles!
Matematica este o cale teoretica pe care omul o foloseste pentru a intelege mai bine natura si pentru a-si construi mijloacele necesare civilizatiei...Insa in natura liniile,suprafetele,volumele nu sunt cele din matematica ci sunt cele din teoria fractalilor ...
In cel mai bun caz ne folosim de matematica pentru a explica propietatile acestora...
Insa ca sa ma fac mai bine inteles dau un exemplu mai apropiat de matematica:
spre exemplu intr-o semisfera planul median trasat prin diametrul sferei este perpendicular pe semisfera daca diametrul imparte semicercul care reprezinta intersectia celor doua plane in doua arce de cerc egale sau altfel spus daca unghiul dintre sferturile de cerc si diametru sunt egale!
Virgil,
Daca tu nu poti sa iesi din tipare este problema ta!
Mai studiaza si despre fractali ...Eu am folosit notiunea de ,,dreapta'' in aceasta ipostaza... iar natura si spatiul cosmic sunt alcatuiti din fractali ...
In alta ordine de idei notiunea de perpendicularitate nu induce neaparat unghiuri de 90 de grade...mai ales intre planuri ... mai citeste si in dex...
Altfel ...demonstreaza tu ca proiectia a doua drepte perpendiculare este un segment de dreapta!