Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Rezumarea primului mesaj :

Am scris recent pe blogul meu un material în care spuneam că proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară poate fi chiar şi un segment de dreaptă, nu neapărat un punct. Voi ce părere aveţi despre asta, ce utilitate găsiţi pentru acest fapt?

Un plan euclidian se considera pependicular pe un plan curb daca o dreapta dusa in planul euclidian la intersectia celor doua plane formeaza impreuna cu intersectia sau cu o alta dreapta dusa in planul curb in punctul de intersectie unghiuri egale de o parte si de alta.

Pentru Cadi; Din postarea ta anterioara rezulta ca te afli in geometria euclidiana, si nu in alt spatiu cu o geometrie curba. Daca te superi, este problema ta, a modului cum te-ai exprimat, iar daca vrei sa amesteci mere cu pere, obtii cel mult un compot, nu o alta geometrie. Ceia ce in geometria euclidiana este curba, in geometria curba are caracterul de dreapta, si invers, asa ca nu le poti amesteca, decat in gluma.

Pentru Curiosu,
Cum poti sa definesti proiectia a doua drepte perpendiculare ca fiind un...segment de dreapta daca nu ai avea un spatiu curbat?
De aceea am intervenit cu un plan din geometria euclidiana spre a ma face inteles!
Matematica este o cale teoretica pe care omul o foloseste pentru a intelege mai bine natura si pentru a-si construi mijloacele necesare civilizatiei...Insa in natura liniile,suprafetele,volumele nu sunt cele din matematica ci sunt cele din teoria fractalilor ...
In cel mai bun caz ne folosim de matematica pentru a explica propietatile acestora...
Insa ca sa ma fac mai bine inteles dau un exemplu mai apropiat de matematica:
spre exemplu intr-o semisfera planul median trasat prin diametrul sferei este perpendicular pe semisfera daca diametrul imparte semicercul care reprezinta intersectia celor doua plane in doua arce de cerc egale sau altfel spus daca unghiul dintre sferturile de cerc si diametru sunt egale!
Virgil,
Daca tu nu poti sa iesi din tipare este problema ta!
Mai studiaza si despre fractali ...Eu am folosit notiunea de ,,dreapta'' in aceasta ipostaza... iar natura si spatiul cosmic sunt alcatuiti din fractali ...
In alta ordine de idei notiunea de perpendicularitate nu induce neaparat unghiuri de 90 de grade...mai ales intre planuri ... mai citeste si in dex...
Altfel ...demonstreaza tu ca proiectia a doua drepte perpendiculare este un segment de dreapta!

mai citeste si in dex...

De cand matematica se face dupa DEX?

In alta ordine de idei notiunea de perpendicularitate nu induce neaparat unghiuri de 90 de grade

Cred ca esti in pragul unei mari descoperiri.

Altfel ...demonstreaza tu ca proiectia a doua drepte perpendiculare este un segment de dreapta!

Sa demonstreze cel care a facut aceasta afirmatie.

virgil a scris: Notiunea de perpendiculara inseamna ca intre cele doua drepte sa fie un unghi de 90 grade. .

Ok!
hai sa-ti arat rolul definitiei din dex a perpendicularitatii pe care tu o asociezi unghiurilor de 90 grade:
PERPENDICULARITÁTE s. f. Faptul sau însușirea de a fi perpendicular (1); poziție perpendiculară; relație care există între două drepte sau planuri care formează între ele unghiuri adiacente egale sau unghiuri diedre adiacente egale. – Din fr. perpendicularité.
Asociaza acum cu raspunsul meu referitor la semisfera si planul perpendicular dus prin diametrul sferei...
Proiectia sfertului de cerc din planul semisferic pe diametru din planul median este un segment de dreapta =raza sferei ...ceea ce era de demonstrat...

Asociaza acum cu raspunsul meu referitor la semisfera si planul perpendicular dus prin diametrul sferei...
Proiectia sfertului de cerc din planul semisferic si diametru din planul median este un segment de dreapta =raza sferei ...ceea ce era de demonstrat...

Continui sa-ti sustii eroarea.
Planul median imparte sfera in doua, numai daca este perpendicular pe planul tangent la semisfera, care la randul lui este paralel cu planul ecuatorial a semisferei. Ceia ce sustii tu este doar o consecinta a perpendicularitatii planului median pe planul tangent la varful semisferei. Intre cele doua planuri, musai este 90 grade.

relație care există între două drepte sau planuri care formează între ele unghiuri adiacente egale sau unghiuri diedre adiacente egale.

Referitor la DEX, este vorba de perpendicularitatea a doua drepte sau planuri, si nicidecum de o dreapta si o curba, cum sustineai tu. Iar unghiuri diedre inseamna unghiuri de 90 grade. Repet matematica exista cu mult inaintea Dex-ului.

Virgil,
Nu este nici o eroare!
Tu esti in eroare...negi evidenta!
si dai o interpretare diferita si intortochiata a ceea ce spun eu!
Imi pare rau pentru tine ca nu ai viziune spatiala ...pacat ca nu am un scaner...

Sa intervina moderatorul, care este profesor de matematica, si sa spuna daca poate exista un unghi diedru mai mic de 90 grade.

In exemplu dat de mine... da.Sau negi faptul ca, planurile sunt perpendiculare?

Stau si ma intreb cu ce profesor ai invatat geometria, daca spui ca pot exista unghiuri diedre mai mici de 90 grade.? Despre ce planuri vorbesti ? o suprafata curba nu este un plan. Tu intersectezi o suprafata curba (semisfera), cu un plan si spui ca sunt perpendiculare? Planul de intersectie poate fi perpendicular pe planul ecuatorial al semisferei, sau pe un plan paralel cu acesta care poate fi planul tangent la semisfera. Din intersectia planului cu semisfera va rezulta un semicerc .

Inseamna ca nu stii care este notiunea de plan :
Nu ma asteptam la asa ceva din partea TA!
Sigur ca este vorba de aceste plane :
al semisferei si planul care contine diametrul-sunt doua plane distincte.
Cum am mai spus proiectia sfertului de cerc (care reprezinta o dreapta in spatiu curb ) este raza=segment de dreapta pe diametrul continut in planul median (care imparte semisfera in doua ..foarte simplu .Mai citeste si despre fractali si despre spatiul Riemannian...Acesta a fost un exemplu matematic ca sa intelegi mai bine fenomenul pe care vad ca nu prea il intelegi...pentru ca tu nu cunosti decat ceea ce ai invatat la scoala.Trebuie sa citesti mai mult...




[Adi, nu e cazul să faci referire la studiile interlocutorului. Te rog să te limitezi la a te referi doar la spusele sale. Mulţumesc!]

Tu ai citit titlul topicului?

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Vezi vreun spatiu curb, spatiul Riemann, sau altceva in afara de doua drepte?

Eu da ,tu nu!
(citeste articolul meu de la inceputul topicului)

Eu încă aştept să văd demonstraţia matematică a lui Abel, cum că proiecţia unei drepte pe o altă dreaptă este (sau poate fi) un segment de dreaptă. În fond, e teoria lui!

Răzvan, eşti de acord că proiecţia de care vorbim are o lungime dată de o nedeterminare? Sau consideri că proiecţia are o lungime bine determinată şi anume egală cu 0?

Doar în cazul când dreptele sunt ortogonale, proiecţia uneia pe cealată este un punct. (dacă punctul este definit matematic a nu avea nici o dimensiune, atunci valoarea proiecţiei poate fi considerată a fi zero)
Dacă dreptele se află sub un anumit unghi, atunci proiecţia uneia pe cealaltă este tot o dreaptă.
În ambele situaţii am considerat spaţii euclidiene.

Abel, trebuie să ţii cont şi de ceea ce am afirmat ultima dată pe blog "Putem ajunge la concluzia ta doar dacă atribuim punctelor valori discrete, cuantificabile. Matematic, orice punct este adimensional. Fizic, nu poate fi chiar aşa, orice "punct" are chiar o valoare discretă, dimensiunea lui putând fi apreciată în funcţie de precizia măsurătorii.
Aşadar, concluzia ta, cum că proiecţia unei drepte perpendiculare pe alta poate fi un segment, cu toate că nu o consider riguros matematic a fi corectă, o pot considera adevărată din punct de vedere fizic."
Deci, atâta timp cât fizic orice punct are totuşi o valoare discretă (măsurabilă), doar în acest caz, recunosc afirmaţia ta a fi valabilă.
Mai mult decât atât, segmentul rezultat în urma proiecţiei, va avea valoarea dimensională egală cu unitatea (atribuită punctului).

Razvan are dreptate. Abel, trebuia sa dea mai multe detalii. Daca ne oprim doar la enuntul lui Abel;
"proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară poate fi chiar şi un segment de dreaptă, nu neapărat un punct. Voi ce părere aveţi despre asta, ce utilitate găsiţi pentru acest fapt?"
Raspunsul este eronat.
Numai proiectia unei parabole pe o dreapta ce trece prin axa de simetrie, se poate reduce la un segment de dreapta.

Razvan a scris:Doar în cazul când dreptele sunt ortogonale, proiecţia uneia pe cealată este un punct.

Recunoşti că nu ai demonstrat matematic aceasta?

Razvan a scris:Deci, atâta timp cât fizic orice punct are totuşi o valoare discretă (măsurabilă), doar în acest caz, recunosc afirmaţia ta a fi valabilă.
Mai mult decât atât, segmentul rezultat în urma proiecţiei, va avea valoarea dimensională egală cu unitatea (atribuită punctului).

Punctul este punct adimensional, deci cu lungime nulă.

virgil a scris:Numai proiectia unei parabole pe o dreapta ce trece prin axa de simetrie, se poate reduce la un segment de dreapta.

Virgil, încearcă să demonstrezi matematic faptul că proiecţia unei drepte pe o altă dreaptă perpendiculară ar fi un punct şi poate aşa vei înţelege nedeterminarea care ne permite să spunem că este un segment.

Razvan a scris:mi-ar place să văd de la tine ceva idei transpuse în formule matematice.

Lungimea proiecţiei unui segment finit care face un unghi finit cu dreapta pe care îl proiectăm este produsul dintre lungimea segmentului şi cosinusul acelui unghi. Să presupunem acum că lăsăm constantă proiecţia şi că lungim segmentul. În acest caz, unghiul pe care îl face segmentul cu dreapta trebuie să crească (altfel lungimea proiecţiei nu poate rămâne constantă). Ce se întâmplă cu unghiul atunci când segmentul are o lungime infinită? Nu cumva el devine un unghi drept?

Cum ramane cu spatiul curb si teoria relativitatii generalizate?
Numai in acest spatiu proiectia unor drepte perpendiculare una pe cealalta poate fi un segment!(spatiul Riemann)

O să ajungem şi la spaţiul curb, dar deocamdată să rezolvăm problema din spaţiul euclidian.

Abel, si daca din proiectia aia (dintr-un punct al segmentului adica) duci o paralela la dreapta proiectata, obtii tot o dreapta perpendiculara la dreapta pe care ai facut proiectia?

Iar daca ridici o perpendiculara dintr-un punct al acelui segment pe dreapta pe care ai facut proiectia, va fi aceasta dreapta paralela cu dreapta proiectata?

Excelente întrebări, alefzero! Răspunsurile la ele sunt afirmative. Tocmai de aceea am şi făcut legătura cu geometriile neeuclidiene.

Si totusi, intr-un spatiu euclidian se aplica geometria euclidiana, nu altceva. Ca sa faci o proiectie, trebuie sa duci o perpendiculara la dreapta de referinta dintr-un punct dat. Ori ca lungimea segmentului obtinut prin proiectie sa fie diferita de 0, cosinusul unghiului dintre cele doua drepte trebuie sa fie diferit de (n+1/2)pi, adica dreptele trebuie sa fie neperpendiculare. Daca sunt perpendiculare, obtii un vector (daca vrei), prin proiectie, de lungime nula. It's as simple as that.

Gandeste-te putin , daca ce zici tu e adevarat, atunci n-ar mai fi cosinusul 0 la 90 de grade, ori aceasta simpla afirmatie are forme echivalente in analiza care depasesc conceptele geometrice. In geometria sferica o fi cu spil si ce sugerezi tu, in plan insa, este fals.

Ia un meridian oarecare si du o geodezica din pol la ecuator. Meridianul initial si paralela care stabate ecuatorul sunt cat se poate de perpendiculare pe suprafata unei sfere si iata totusi ca proiectia meridianului este nenula pe paralela ecuatoriala (ba mai mult, ai obtinut astfel un triunghi in care suma unghiurilor e mai mare de 180 de grade).

alefzero a scris:Si totusi, intr-un spatiu euclidian se aplica geometria euclidiana, nu altceva.
........................................................................................................
Ia un meridian oarecare si du o geodezica din pol la ecuator. Meridianul initial si paralela care stabate ecuatorul sunt cat se poate de perpendiculare pe suprafata unei sfere si iata totusi ca proiectia meridianului este nenula pe paralela ecuatoriala (ba mai mult, ai obtinut astfel un triunghi in care suma unghiurilor e mai mare de 180 de grade).

Bine spus alefzero!(numai intr-un spatiu curb doua drepte perpendiculare pot sa aiba proiectia un segment de dreapta ,sau o dreapta, daca ele se intind la infinit)

alefzero a scris:Si totusi, intr-un spatiu euclidian se aplica geometria euclidiana, nu altceva.

Bun, de acord. Dar atunci spune-mi ce valoare are (în geometria euclidiană) unghiul din exemplul pe care l-am dat atunci când lungimea segmentului de proiectat tinde la infinit, iar lungimea segmentului proiectat rămâne constantă.

Abel, e atat de simplu. Iei doi vectori ortogonali. Poti sa tragi de ei pana la sfantul asteapta, ca ortogonali vor ramane, adica proiectia unuia dintre ei pe celalalt e un alt vector de lungime 0.

Asa cum ti-am scris si in postul anterior, Doua drepte ortogonale pot avea proiectiile nenule doar intr-un spatiu curb, intr-un spatiu plat ai doar un punct.

Exemplul dat de tine este foarte bun şi rămâne valabil până când lungimea unuia dintre vectori este infinită. Trecerea la infinit implică schimbări calitative.

Dar nu mi-ai răspuns la întrebare. Când vei răspunde la întrebare, vei înţelege ce vreau să zic.

Abel ,
Eu cam inteleg unde bati...Vrei sa spui ca vom avea un punct de grosime infinita care in final va fi un segment de dreapta .Eu stiu daca acest lucru este adevarat?Noi vorbim de proiectie care reprezinta ceva virtual deci in final in geometria euclidiana pana la urma avem tot un punct deci nu avem un segment de dreapta!pana la urma cos II/2=0 (cosinus 90=0) in geometria euclidiana ) si chiar daca duci dreptele la infinit proiectia uneia pe cealalta este tot un punct ,punctul de intersectie, nu conteaza marimea lor iar cosinusul 90=0 indiferent de marimea dreptelor de intersectie!

Adi, încearcă şi tu să aprofundezi raţionamentul cantitativ următor:
-se dă un segment AB de lungime l, care face un unghi U cu o dreaptă d.
-atunci, proiecţia segmentului AB pe dreapta d va fi segmentul A'B' de lungime l'=l*cos U.

Să presupunem acum că menţinem constantă proiecţia A'B' şi modificăm doar segmentul AB şi unghiul U în aşa fel încât proiecţia segmentului AB pe dreapta d să aibă mereu aceeaşi lungime finită şi nenulă l'. În acest caz, dacă mărim segmentul AB, va trebui să mărim şi unghiul U pentru ca proiecţia A'B' să-şi poată menţine constantă lungimea.

În aceste condiţii, am întrebat ce valoare va avea unghiul U atunci când lungimea l a segmentului AB va deveni infinită. Este clar ca bună ziua, că unghiul U devine un unghi drept, ceea ce înseamnă că segmentul AB devine în acest caz o (semi)dreaptă perpendiculară pe dreapta d, iar proiecţia (care a rămas constantă) este în continuare de lungime nenulă.

Problema ridicată de mine arată că matematica nu are suficiente resurse pentru a putea determina dacă o geometrie este euclidiană sau neeuclidiană. Mai plastic (şi mai neriguros) spus, matematica nu poate demonstra că geometria euclidiană este euclidiană.

În consecinţă, atunci când faceţi afirmaţii de genul „cutare lucru este valabil numai în geometria euclidiană”, afirmaţi ceva ce nu se poate demonstra matematic.

Abel,
Cred ca ar trebui sa inserezi cumva un desen !Nu imi dau prea bine seama...