Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Scris de **Abel Cavaşi** Vin 22 Apr 2011, 15:10

Rezumarea primului mesaj :

Am scris recent pe blogul meu un material în care spuneam că proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară poate fi chiar şi un segment de dreaptă, nu neapărat un punct. Voi ce părere aveţi despre asta, ce utilitate găsiţi pentru acest fapt?

Scris de **Abel Cavaşi** Dum 05 Iun 2011, 10:08

Adi, încearcă şi tu să aprofundezi raţionamentul cantitativ următor:
-se dă un segment AB de lungime l, care face un unghi U cu o dreaptă d.
-atunci, proiecţia segmentului AB pe dreapta d va fi segmentul A'B' de lungime l'=l*cos U.

Să presupunem acum că menţinem constantă proiecţia A'B' şi modificăm doar segmentul AB şi unghiul U în aşa fel încât proiecţia segmentului AB pe dreapta d să aibă mereu aceeaşi lungime finită şi nenulă l'. În acest caz, dacă mărim segmentul AB, va trebui să mărim şi unghiul U pentru ca proiecţia A'B' să-şi poată menţine constantă lungimea.

În aceste condiţii, am întrebat ce valoare va avea unghiul U atunci când lungimea l a segmentului AB va deveni infinită. Este clar ca bună ziua, că unghiul U devine un unghi drept, ceea ce înseamnă că segmentul AB devine în acest caz o (semi)dreaptă perpendiculară pe dreapta d, iar proiecţia (care a rămas constantă) este în continuare de lungime nenulă.

Problema ridicată de mine arată că matematica nu are suficiente resurse pentru a putea determina dacă o geometrie este euclidiană sau neeuclidiană. Mai plastic (şi mai neriguros) spus, matematica nu poate demonstra că geometria euclidiană este euclidiană.

În consecinţă, atunci când faceţi afirmaţii de genul „cutare lucru este valabil numai în geometria euclidiană”, afirmaţi ceva ce nu se poate demonstra matematic.

Scris de **CAdi** Dum 05 Iun 2011, 10:17

Abel,
Cred ca ar trebui sa inserezi cumva un desen !Nu imi dau prea bine seama...

Scris de **alefzero** Dum 05 Iun 2011, 10:37

Abel, problema e ca in aceste condtii, dreapta proiectata tinde la a fi o perpendiculara dar de fapt nu e niciodata, decat la limita. Fortezi aiurea o chestie inutila si tragi concluzii false. Geometria euclidiana e data de axiomele lui Euclid sau sistemul axiomatic al lui Hilbert (eu de altele nu am auzit), daca nu-ti plac, cearta-te cu ei, ca sunt mai destepti ca noi. Proiectia unei drepte perpendiculare pe alta dreapta este un punct in geometria euclidiana, sau un segment de lungime nula.

Pe ideea ta, cu triunghiul, s-au facut masuratori astronomice folosindu-de cele mai indepartate stele pentru a construi triunghiuri si a testa daca geometria spatiului este plata sau curba si pana acum, cele mai rafinate masuratori n-au gasit vreun triunghi cu suma unghiurilor mai mare de 180 de grade, deci relaxeaza-te, nu e cum zici tu Very Happy

.

Scris de **Abel Cavaşi** Dum 05 Iun 2011, 10:42

Desenul este următorul:
Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară - Pagina 3 Fw2ds

Scris de **alefzero** Dum 05 Iun 2011, 10:47

Trebuie sa curbezi foaia aia, daca vrei ca U sa ajunga fix la 90 de grade, si proiectia dreptei l, acum intr-adevar perpendiculare pe d, sa fie nenula. Altfel ai o proiectie nenula a unei drepte care nu e perpendiculara.

Scris de **Abel Cavaşi** Dum 05 Iun 2011, 10:50

alefzero a scris:dreapta proiectata tinde la a fi o perpendiculara dar de fapt nu e niciodata, decat la limita.

Atâta timp cât nu e dreaptă, ci doar segment, da, nu e perpendiculară pe d, dar în momentul în care lungimea segmentului devine exact infinită, atunci şi unghiul devine exact drept.

Pe ideea ta, cu triunghiul, s-au facut masuratori astronomice folosindu-de cele mai indepartate stele pentru a construi triunghiuri si a testa daca geometria spatiului este plata sau curba si pana acum, cele mai rafinate masuratori n-au gasit vreun triunghi cu suma unghiurilor mai mare de 180 de grade, deci relaxeaza-te, nu e cum zici tu .

Nu văd legătura. Nu văd de ce asemenea măsurători infirmă ce zic eu aici. Şi te asigur că sunt mai relaxat decât îţi poţi imagina! Very Happy

Scris de **alefzero** Dum 05 Iun 2011, 10:53

Tocmai asta e, infinitul nu poate fi exact. In analiza elementara e vazut ca cel mai mic majorant (parca asta era nomenclatura, naiba isi mai aduce aminte, dupa atatia ani) al multimii reale, nu-l atingi niciodata.

Scris de **Abel Cavaşi** Dum 05 Iun 2011, 10:58

Frumos spus că „infinitul nu poate fi exact”, dar tocmai aşa e şi cu dreapta. Dreapta are lungimea infinită, indiferent că infinitul este sau nu este exact.

Scris de **alefzero** Dum 05 Iun 2011, 11:34

Exista o relatie biunivoca intre o dreapta si axa reala. Dreapta are o lungime infinita in acelasi sens in care axa reala este infinita, ori axa reala este infinita in sensul in care este marginita de + si - infinit la capete. Dar cum spuneam, nu este exact infinita. Daca nu ma crezi, apuca-te sa numeri si zi-mi cand ajungi la capat.

Scris de **Syntax** Lun 15 Apr 2013, 12:01

Abel Cavaşi a scris:Desenul este următorul:

Interesant.
Observati legatura cu exemplul cu locomotiva?
Ca sa mentin constanta proiectia (efectul asupra dreptei) pe o axa "modific" dreapta care ar trebui sa fie Cauza.
In cel cu locomotiva:
Ca sa mentin Puterea (efectul sa fie constant) trebuie sa "modific" F (cauza spre infinit)
Foarte interesant! Smile

Scris de **Syntax** Lun 15 Apr 2013, 12:38

Si inca ceva , sa nu uit!
Problema propusa este posibila in cazul in care segmentul AB este elastic.
Sper ca asta nu incalca nici o lege euclidiana?
Problema se va pune doar in masurarea distantei dintre punctele din care e definit AB. Distanta dintre doua puncte (oare o fi corect spus discrete?) ale segmentului elastic AB care e "intins" la infinit este sau nu egala cu distanta dintre doua puncte "discrete" cand AB nu e intins deloc ? k=0

Scris de **Syntax** Mar 16 Apr 2013, 11:17

Am mai descoperit ceva, cred ca e interesant.
Daca proiectia unei drepte pe o alta dreapta este un segment atunci si dreapta tangenta la un cerc , nu va fi un punct ci tot un segment.
Nu stiu cum sa pun desenul pe care l-am facut.

Scris de **Abel Cavaşi** Mier 17 Apr 2013, 09:56

Syntax a scris:Am mai descoperit ceva, cred ca e interesant.
Daca proiectia unei drepte pe o alta dreapta este un segment atunci si dreapta tangenta la un cerc , nu va fi un punct ci tot un segment.

Permite-mi să mă îndoiesc de acest lucru.
[Offtopic]

Nu stiu cum sa pun desenul pe care l-am facut.

Citează un mesaj în care cineva a pus un desen şi studiază-l. Sau inspiră-te din tutorialul forumului de suport. Trebuie să-ţi reamintesc, totuşi, că nu poţi găzdui imaginea direct pe acest forum, ci trebuie să o pui întâi pe internet în altă parte (la un serviciu care găzduieşte imagini şi îţi dă lincul imaginii) şi aici să postezi doar lincul ei.
[/Offtopic]

Scris de **Syntax** Mier 17 Apr 2013, 18:36

Desenul este următorul:
Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară - Pagina 3 Zs5Tzi1

Iar acum am doua situatii:
1.dreapta d este infinita,atunci punctele B, B', B" si asa mai departe pot sa coincida. (motivul este ca nu pot stabili un reper pe dreapta d)
2. consider cercul sectiunea unui cilindru iar planul triunghiului ABB' perpendicular pe cilindru. Dreapta tangenta va fi generatoarea cilindrului.Daca as "muta" cercul in sus si in jos dreapta d ar fi tot tangenta.
Observ un lucru: ca daca raportez proiectia unei drepte la o singura axa ( OX de exemplu ) ajung la un caz de nedeterminare.(un segment nedefinit)
Daca raportez proiectia la doua axe (ceea ce ar corepsunde la doua "dimensiuni") proiectia ,mai bine zis "traiectoria" lui B va fi o curba.
Daca raportez proiectia la trei axe (3 dimensiuni) traiectoria devine un tip de elicoida. (ca arcurile de pe spate de la masini)

Scris de **Abel Cavaşi** Vin 19 Apr 2013, 22:55

Syntax a scris:Dreapta tangenta va fi generatoarea cilindrului.Daca as "muta" cercul in sus si in jos dreapta d ar fi tot tangenta.

Din păcate, nu-ţi pot da dreptate aici. Tangenta este o dreaptă spre care tind secantele la cerc ce trec prin două puncte de pe cerc din ce în ce mai apropiate. Aşadar, tangenta se află în planul cercului.

Scris de negativ Sam 20 Apr 2013, 09:16

Abel Cavaşi a scris:Din păcate, nu-ţi pot da dreptate aici. Tangenta este o dreaptă spre care tind secantele la cerc ce trec prin două puncte de pe cerc din ce în ce mai apropiate. Aşadar, tangenta se află în planul cercului.

Din punct de vedere topologic, perimetrul unui cerc, este o zonã de frontierã a multimii punctelor ce constituie suprafata cercului, care cel putin în teorie nu aparţin nici interiorului nici exteriorului mulţimii. Pentru cã tangenta are un singur punct comun cu aceastã zonã, nu se poate spune cã tangenta apartine punctelor ce constituie planul cercului.
"Tangenta este o dreaptă spre care tind secantele..." Dacã secantele cu pricina "tind", înseamnã cã multimea lor nu include tangenta. Deci te contrazici.
Uitasem sã zic faptul cã o secantã este o dreaptã care are cel putin douã puncte situate pe zona de frontierã si cel putin unul apartinînd multimii de puncte ce constituie suprafata acestuia.

Scris de **Syntax** Sam 20 Apr 2013, 13:27

negativ a scris:
Din punct de vedere topologic, perimetrul unui cerc, este o zonã de frontierã a multimii punctelor ce constituie suprafata cercului, care cel putin în teorie nu aparţin nici interiorului nici exteriorului mulţimii. Pentru cã tangenta are un singur punct comun cu aceastã zonã, nu se poate spune cã tangenta apartine punctelor ce constituie planul cercului.
"Tangenta este o dreaptă spre care tind secantele..." Dacã secantele cu pricina "tind", înseamnã cã multimea lor nu include tangenta. Deci te contrazici.
Uitasem sã zic faptul cã o secantã este o dreaptã care are cel putin douã puncte situate pe zona de frontierã si cel putin unul apartinînd multimii de puncte ce constituie suprafata acestuia.

Excelent argument!
Nu ma gandisem din perspectiva asta, dar e o metoda solida pentru a demonstra ca tangenta la un cerc e un "segment" nu un punct.
Din pacate , nu prea ma descurc cu formulele si desenele sa le pun aici (imi este destul de greu pentru ca lucrez cu paint), dar o alta idee era sa mentin tangenta la cerc constanta si cercul sa se "mareasca" sau sa se "micsoreze"(variaza raza cercului pana la infinit).
Se putea observa din figura, ca daca maresc suficient de mult cercul (la infinit) tangenta la el nu va fi un punct! (ci va fi un segment care tinde spre un punct)
Dar tu ai explicat si mai bine cu ajutorul multimii punctelor.

Scris de **Abel Cavaşi** Dum 21 Apr 2013, 13:25

negativ a scris:Pentru cã tangenta are un singur punct comun cu aceastã zonã

Tangenta nu are un singur punct comun cu cercul, ci are două puncte infinit de apropiate. Deci tangenta este deja o secantă, dar una care trece prin două puncte infinit de apropiate. Aşadar, rămâne valabil ce i-am spus lui Syntax.

Scris de **virgil** Dum 21 Apr 2013, 16:50

Avem aici un exemplu clasic de teoria chibritului. De fapt cercul este locul geometric al tuturor punctelor egal departate de un punct fix numit centru, iar tangenta este o dreapta (adica tot o insiruire de puncte), care are un singur punct comun cu cercul. Deci intre tangenta si cerc este un singur punct comun. Daca insa tangenta ar avea doua puncte comune cu cercul, atunci acel cerc este un poligon avand laturile cat distanta dintre cele doua puncte. Nu uitati punctul matematic nu are nici o dimensiune.

Scris de **Abel Cavaşi** Dum 21 Apr 2013, 17:13

Ce-ar mai da Cantor cu voi de Pământ la cât de dăştepţi vă ţineţi! La tine două puncte infinit de apropiate sunt echivalente cu un singur punct? Dacă ar fi aşa, atunci în Univers nu ar fi altceva decât un singur punct. Care este distanţa dintre două numere reale vecine?

Scris de **virgil** Dum 21 Apr 2013, 17:38

virgil a scris:Avem aici un exemplu clasic de teoria chibritului. De fapt cercul este locul geometric al tuturor punctelor egal departate de un punct fix numit centru, iar tangenta este o dreapta (adica tot o insiruire de puncte), care are un singur punct comun cu cercul. Deci intre tangenta si cerc este un singur punct comun. Daca insa tangenta ar avea doua puncte comune cu cercul, atunci acel cerc este un poligon avand laturile cat distanta dintre cele doua puncte. Nu uitati punctul matematic nu are nici o dimensiune.

.

Ce-ar mai da Cantor cu voi de Pământ la cât de dăştepţi vă ţineţi! La tine două puncte infinit de apropiate sunt echivalente cu un singur punct? Dacă ar fi aşa, atunci în Univers nu ar fi altceva decât un singur punct. Care este distanţa dintre două numere reale vecine?

Eu speram ca nu ai sa dai nici un raspuns in fata evidentei, dar vad ca iti sustii punctul de vedere chiar si cand nu ai dreptate. Repet inca odata, punctul nu are nici o dimensiune, iar cercul si tangenta nu sunt decat o insiruire de puncte. Probabil Cantor nu v-a explicat bine aceasta problema, sau dupa cum va explicat el, tangenta atinge cercul in doua puncte in acelasi timp, dar fiind apropiate nici nu mai conteaza.

Scris de **Abel Cavaşi** Dum 21 Apr 2013, 17:51

virgil a scris:Eu speram ca nu ai sa dai nici un raspuns in fata evidentei, dar vad ca iti sustii punctul de vedere chiar si cand nu ai dreptate.

Pot să suport această jignire pentru că înţeleg ce n-ai priceput...

Repet inca odata, punctul nu are nici o dimensiune, iar cercul si tangenta nu sunt decat o insiruire de puncte. Probabil Cantor nu v-a explicat bine aceasta problema, sau dupa cum va explicat el, tangenta atinge cercul in doua puncte in acelasi timp, dar fiind apropiate nici nu mai conteaza.

Păi, hai să-ţi explic atunci ce mi-a explicat mie Cantor. Între două numere reale aflate la distanţă finită unul de celălalt există o infinitate de alte numere reale. Ghâci atunci (ciupercă) care este distanţa dintre două numere reale infinit de apropiate? Şi vezi atunci de ce un cerc este un poligon cu o infinitate de laturi.

Scris de **virgil** Dum 21 Apr 2013, 18:22

Păi, hai să-ţi explic atunci ce mi-a explicat mie Cantor. Între două numere reale aflate la distanţă finită unul de celălalt există o infinitate de alte numere reale. Ghâci atunci (ciupercă) care este distanţa dintre două numere reale infinit de apropiate? Şi vezi atunci de ce un cerc este un poligon cu o infinitate de laturi..

Noi vorbim de geometrie, asa ca intre doua puncte apropiate, pot exista o infinitate de puncte, care se pot inscrie pe un cerc sau pe o dreapta. Este necesar si suficient ca dreapta si cercul sa se gaseasca in acelasi plan si sa aiba un punct comun, pentru ca dreapta respectiva sa se numeasca tangenta.
Daca ai ceva de obiectat la aceasta definitie.
PS. Eu consider ca o disputa contradictorie nu este o jicnire.

Scris de **Abel Cavaşi** Dum 21 Apr 2013, 21:46

virgil a scris:Noi vorbim de geometrie, asa ca intre doua puncte apropiate, pot exista o infinitate de puncte, care se pot inscrie pe un cerc sau pe o dreapta. Este necesar si suficient ca dreapta si cercul sa se gaseasca in acelasi plan si sa aiba un punct comun, pentru ca dreapta respectiva sa se numeasca tangenta.
Daca ai ceva de obiectat la aceasta definitie.

Pentru că ai adăugat „în acelaşi plan” nu am nimic de obiectat (decât fleacuri irelevante aici).

Totuşi, de ce ai adăugat „în acelaşi plan”? Şi de ce te-ai mai băgat în discuţie cu atitudinea „Avem aici un exemplu clasic de teoria chibritului.” din moment ce, la urma urmei, spui şi tu că tangenta trebuie să se afle în acelaşi plan cu cercul ca şi mine?

De altfel, eu tocmai de aceea am intervenit în discuţie, ca să nu-l las pe Syntax să creadă greşit că tangenta poate fi perpendiculară pe planul cercului, aşa cum l-a încurajat negativ. Altă dată, fii mai atent...

Scris de **virgil** Dum 21 Apr 2013, 21:57

Tu ai afirmat ca tangenta este o secanta la care punctele de intersectie cu cercul sunt infinit de apropiate. Eu am afirmat ca este suficient doar un punct, si fiind vorba de geometria plana, este de la sine inteles ca cercul si dreapta sunt in acelasi plan, asa ca din capul locului nu era nimic de contrazis, sau sa-l asmuti pe Cantor sa dea cu noi de pamant.
Doua puncte infinit de apropiate, inseamna totusi doua puncte, iar tangenta la cerc inseamna ca au doar un punct comun.

Scris de **Abel Cavaşi** Lun 22 Apr 2013, 07:27

virgil a scris:Tu ai afirmat ca tangenta este o secanta la care punctele de intersectie cu cercul sunt infinit de apropiate. Eu am afirmat ca este suficient doar un punct

Se pare că ne întoarcem iară în vale, de unde am plecat.

fiind vorba de geometria plana

Da' de unde ai scos-o tu că este vorba de geometrie plană? Vrei să spui că în spaţiul tridimensional aş putea duce o „tangentă” perpendiculară pe planul cercului?

Doua puncte infinit de apropiate, inseamna totusi doua puncte, iar tangenta la cerc inseamna ca au doar un punct comun.

Pune-te şi ceti despre ceea ce înseamnă tangenta la o curbă prin definiţie. Tangenta la cerc nu este doar o dreaptă care are un punct comun cu cercul, ci şi o dreaptă care se află în acelaşi plan cu el. Şi ţine-mă la curent cu ce ai priceput...

Scris de **virgil** Lun 22 Apr 2013, 09:10

Da' de unde ai scos-o tu că este vorba de geometrie plană? Vrei să spui că în spaţiul tridimensional aş putea duce o „tangentă” perpendiculară pe planul cercului?

Insasi notiunea de tangenta, presupune ca acea dreapta se afla in plan cu cercul, si au un punct comun. Daca tu vrei sa duci o tangenta la un cerc in spatiul tridimensional, obligat te vei referi la planul cercului, altfel nu va fi vorba de tangenta.

Scris de **Abel Cavaşi** Lun 22 Apr 2013, 09:15

Hopa! Să înţeleg că te-ai dumirit oarecum şi că ăsta e felul tău de a-mi spune asta?

Scris de **virgil** Lun 22 Apr 2013, 09:24

Abel Cavaşi a scris:Hopa! Să înţeleg că te-ai dumirit oarecum şi că ăsta e felul tău de a-mi spune asta?

Totdeuna problema tangentei la un cerc se reduce la geometria plana, chiar daca te afli in spatiul tridimensional. Dar astea sunt notiuni elementare de geometrie, pe care le-am caracterizat drept teoria chibritului, asa ca ma opresc aici.

Scris de **Abel Cavaşi** Lun 22 Apr 2013, 09:29

Deci încă tot n-ai priceput. Tot n-ai priceput că tangenta se poate defini şi pentru o curbă oarecare din spaţiul tridimensional şi că chiar şi în aceste condiţii se obţine că în cazul cercului ea este în planul cercului.

Scris de **Syntax** Mar 23 Apr 2013, 19:56

Se poate construi o tangenta la o sfera?
Daca am lua un punct de pe sfera am putea avea in acel punct o infinitate de tangente.
Acum sa intreb ceva:
Tangenta la un cerc (care nu este in planul cercului) ci are o anumita panta, fata de planul cercului este sau nu o tangenta la cercul respectiv?

Scris de Continut sponsorizat

Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară

Re: Despre proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară