Mișcarea în câmp central

Rezumarea primului mesaj :

Incep prin a va ruga sa ma scuzati pentru faptul ca nu voi folosi diacritice in aceste mesaje, dar e posibil sa am ceva formule de scris in TEX (evident, le voi si explica amanuntit) si imi va usura destul de mult munca aceasta scriere mai barbara.

Obiectivul este sa lamurim fizica din spatele interactiei a doua corpuri, cand forta care actioneaza asupra lor depinde numai de distanta dintre ele, desi cateva rezultate se pot aplica si pentru forte mai generale, dupa care in masura posibilului, sa explicitam teoria pentru cazul particular al gravitatiei asa cum a fost descrisa de Isaac Newton. Va fi o discutie nerelativista, deoarece pentru sisteme gravitationale precum Pamant-Luna corectiile aduse de Einstein sunt insignifiante (cel putin dupa cunoasterea mea). Natura este in mod cert mai complexa decat o vor arata aceste calcule, Pamantul si Luna nu sunt puncte materiale si discutia se poate extinde spre studiul deformarilor celor doua corpuri in urma interactiei, spre influenta interactiei asupra miscarii de rotatie a Pamantului in jurul propriei sale axe sau spre consecintele climatice pe care le are prezenta Lunii asupra Pamantului si asa mai departe.

Pe parcurs, vom avea nevoie de diverse formule si metode de calcul, dar cum e putin probabil ca toti cei prezenti aici sa aiba vreo afinitate sau placere deosebita pentru calculul teoretic, voi incerca sa mentin totul in termeni cat se poate de simpli si sa reduc calculul la minim, pentru a face discutia accesibila tuturor.

Cred ca ar fi bine sa inchei aici mesajul introductiv si sa atac direct problema intr-un nou mesaj. Orice fel de intrebari, interventii si sugestii sunt binevenite, caci scopul final este sa invatam unii de la altii.

CUPRINS:

I. Precizari cu caracter general
II.Reducerea problemei celor doua corpuri la problema unei particule fictive in interactie cu un potential
III.Conservarea momentului cinetic
IV.Conservarea energiei
V.Clasificarea orbitelor
VI.Teorema de virial
VII.Ecuatia orbitei
VIII.Teorema lui Bertrand
IX.Problema lui Kepler. Orbitele intr-un camp gravitational
X.Orbitele eliptice. Rezultate analitice

Cum să n-aibă geometrie? Are tensor metric și tot ce-i trebuie. În spațiul real tridimensional măsori distanțe cu teorema lui Pitagora, care spune că . În spațiu-timpul Minkowski distanța este dată de , deși poți suci semnele, e iar o convenție care ține de domeniu (unii preferă să pună minusul la partea temporală).

În spațiul real tridimensional măsori distanțe cu teorema lui Pitagora

.....SERIOS?
Pai ia masoara mataluta distantele ....dintr-un spatiu in care nu exista...NIMIC....! CE VALORI AU?...ne spui si noua?...dac nu tii secret!

Vezi că ai rămas deja corijent la electricitate, vrei să faci buba și la geometrie?

E vremea totusi sa duc acest proiect mai departe.  

Urmeaza analiza orbitelor eliptice. In acest mesaj voi deduce rezultatele analitice, iar in urmatorul le voi supune unei analize numerice si va voi prezenta grafice cu felul in care variaza diversii parametri fizici ai miscarii.

Cel mai important rezultat ce priveste orbitele eliptice este acela ca axa mare a elipsei depinde numai de energia sistemului. Acest fapt a fost de o importanta extraordinara in dezvoltarea modelului Bohr al atomului de hidrogen.

Semiaxa mare este egala cu media aritmetica a distantelor absidale. Pentru care nu isi amintesc, distantele absidale reprezinta distantele de minima si maxima departate a particulei de masa redusa fata de centrul de forta, iar semiaxa mare, notata cu , este atunci

, cu r1 si r2 distantele absidale.

Acestea fiind distantele extreme fata de centrul de forta, rezulta ca viteza radiala este 0 in aceste puncte (caci altfel am contrazice faptul ca sunt puncte extreme). Conservarea energiei spunea ca

, unde V' era potentialul efectiv al problemei iar al doilea termen era energia cinetica radiala a particulei.

La razele extreme, conservarea energiei se reduce la , deoarece viteza radiala este 0, ceea ce pentru un camp gravitational devine



Prin manipulari absolut banale, legea de mai sus devine o ecuatie de gradul doi pentru distanta radiala.



Cum ecuatia este valabila numai in punctele de intoarcere r1 si r2, rezulta ca acestea sunt chiar solutiile ei. Mai mult, in orice ecuatie de gradul doi in care coeficientul termenului patratic este 1, suma solutiilor este egala cu minus coeficientul termenului liniar. Asta rezulta imediat din formula care da radacinile unei ecuatii de gradul 2, iar in cazul problemei noastre, pentru semiaxa mare a elipsei, acest lucru inseamna ca



Dupa cum v-am spus de la inceput, iata ca semiaxa mare a elipsei depinde numai de energie. In limita in care miscarea este circulara, semiaxa mare devine chiar raza cercului pe care are loc miscarea, si formula noastra devine , r0 fiind raza cercului. Aceasta este chiar conditia pentru orbite circulare, deci am trecut un nou test de consistenta al teoriei.

Excentricitatea unei sectiuni conice era data de formula . Pentru miscare eliptica, scoatem energia din formula semiaxei mari si obtinem

, care va fi o formula foarte utila mai tarziu.

Putem extrage de aici patratul momentului cinetic, in forma . Daca inseram aceasta expresie in ecuatia generala a orbitei (dedusa in mesajele anterioare)

, distanta radiala poate fi exprimata ca



Punctele de intoarcere corespund fie situatiei in care egal cu 0 fie egal cu pi, pentru ca atunci ia numitorul valorile extreme. Punctul de maxima departare fata de centru este deci , ce corespunde valorii pi a argumentului cosinusului, iar cel de minima departare este dat de , ce corespunde argumentului 0. Acestea sunt proprietati care ar rezulta si dintr-o analiza pur geometrica a elipsei.

Pentru astazi atat, un mesaj scurt de incalzire. Data viitoare voi supune analizei numerice aceste rezultate, cu ajutorul codului "kepler" pe care l-am dezvoltat.

Propun sa-l ajuti pe Abel, stabilind un sistem de 3..4 ecuatii, prin care sa arati ca traiectoria; spre exemplu a Lunii, este desfasurata intr-o elice datorita miscarii Pamantului, care la randul sau este infasurata intr-o alta elice de ordinul doi, datorita deplasarii Soarelui si apoi "impletita" intr-o alta elice datorita deplasarii Galaxiei. Deci un numar de 4 ecuatii ar reprezenta traiectoria absoluta a Lunii care ar fi o elice complexa de ordinul trei. In felul acesta ai putea sa analizezi traiectoria la nivelul de care ai nevoie oprindu-te la sistemul de ecuatii potrivit, fara curbura si fara torsiune.

Virgil, să presupunem pentru simplitate că Pământul și Luna sunt două mase punctiforme, ce interacționează gravitațional. Atunci, din orice sistem de referință inerțial, Luna se va mișca pe o orbită eliptică în jurul centrului de masă al celor două corpuri, mișcare peste care se suprapune translația rectiline uniformă a centrului de masă. Astfel, în cazul cel mai general traiectoria va fi o elice, iar în cazul particular în care în sistemul de referință ales centrul de masă este în repaus, mișcarea va fi pe o orbită eliptică.

Dacă adaugi o a treia particulă, mișcarea nu înfășoară o traiectorie eliptică a centrului de masă al sistemului biparticulă în jurul celei de-a treia particule, ci este mult mai complicată, datorită faptului că a treia particulă nu acționează numai asupra centrului de masă al sistemului biparticulă, ci asupra fiecărei particule în parte. Ceea ce propui tu ar fi adevărat dacă Luna ar avea o orbită eliptică în jurul Pământului ce nu ar fi perturbată de prezența Soarelui. Cam asta se întâmpla în viziunea lui Ptolemeu, numai că acolo astrele nu se mișcau pe elipse, ci pe cercuri, și se roteau în jurul Pământului.

Complicații suplimentare, apropo de situația fizică reală, apar datorită dimensiunilor finite ale corpurilor cerești. Efectele mareice joacă un rol important în mișcarea Lunii, dar acestea sunt deja lucruri extrem de avansate și nu fac obiectul acestui topic. Aici nu am vrut decât să arăt cum se analizează sistematic și riguros o problemă de fizică ce are aplicații concrete și este totodată suficient de simplă cât să poată fi rezolvată, în cea mai mare parte, de mână.

Am incercat sa fac o reprezentare grafica, cat de cat la scara, dar nu se poate, pentru ca timp ce luna inconjoara pamantul odata, pamantul se deplaseaza cam cu o suta diametre orbitale ale lunii, deci traiectoria lunii apare ca o sinusoida alungita de cca 100 ori fata de amplitudine (diametrul orbitei), iar daca mai intervine si deplasarea soarelui mai apare o sinusoida cu alungirea (lambda/2) cam de 20 de ori mai mare ca amplitudinea (diametrul orbitei). Va dati seama ce mai apare cand aplicam si miscarea galaxiei. Oricum figura in 3d este un fel de elice eliptica foarte aplatizata si mult alungita, inglobata in alta elice ceva mai putin alungita si mai ampla, si tot asa. O aiureala totala.

Imagine care s-ar putea să fie și profund incorectă din punct de vedere fizic. În cazul particular al Lunii e clar că sistemul rămâne legat, dar sunt probleme de 3 corpuri care nu rămân legate. Rămân numai două prinse pe o orbită eliptică iar a treia particulă scapă liberă, asta pentru că un sistem de 3 corpuri e deja unul haotic.

O să ajung în expunerile mele și la problema celor 3 corpuri, și o să vorbim și despre ea puțin.

Am găsit niște simulări excelente ale dinamicii într-o problemă de 3 corpuri. Toate simulările sunt făcute în sistemul de referință în care centrul de masă este în repaus.

Aici e un sistem binar de stele, cu o planetă foarte ușoară în centrul de masă. Toate sunt bune și frumoase, numai că echilibrul planetei este instabil, și iată ce se întâmplă când scapă.



Aici e un alt sistem de 3 corpuri, unde raportul maselor albastru/roșu/galben este 3/1/0 (adică particula galbenă este extrem de ușoară, abia le perturbă pe celelalte două). Puteți vedea și orbita biparticulă a particulei galbene, dacă perturbația celui de-al treilea corp nu ar fi prezentă.



Aceeași problemă, dar cu raportul albastru/roșu/galben 3/4/5

Incurcate sunt caile Domnului, iar Abel vrea sa le lumineze cu o elice, sunt atatea variabile intr-un sistem incat face ca efortul este zadarnic.

Asta e șmecheria, când ai venit cu al treilea corp, sistemul devine haotic  . O variație foarte fină a condițiilor inițiale schimbă radical evoluția componentelor.

În ultimul film, la sfârșit, particula albastră scapă liberă și se duce la infinit, iar celelalte două rămân legate și se mișcă pe traiectorii eliptice în jurul centrului de masă (acum biparticulă) care se translatează în direcție opusă.

Daca au valorile coordonatelor particulelor, masele lor, in un anumit moment si din cite se ilustreaza ei pot calcula (cum am inteles, daca ar sta celelalte nemiscate) pe ce traectorie se va deplasa corpul mai departe (cerc, elipsa, parabola sau hiperbola), presupun ca cea mai mare parte din problema e rezolvata .

omuldinluna a scris: Obiectivul este sa lamurim fizica

Poţi să defineşti sensul clar al cuvintelor pe care le foloseşti în "mişcarea în cîmp central"? Ce e mişcarea? Ce e cîmpul? Ce e centru?  Fiindcă eu am căutat dar am găsit mai multe sensuri şi nu sînt lămurit. Ca să putem vorbi aceeaşi limbă.

Citeste manualul de Fizica de clasa a VII si brusc o sa ai o revelatie,si bineinteles o sa ai si mult mai putine intrebari

Mezei Geza a scris: intrebari

Rog pe experţii în limba română să explice înţelesul şi dacă depăşeşte cadrul moral să ia măsuri. Mulţumesc!

Perfect deacord !

Woden a scris:Poţi să defineşti sensul clar al cuvintelor pe care le foloseşti în "mişcarea în cîmp central"? Ce e mişcarea? Ce e cîmpul? Ce e centru?  Fiindcă eu am căutat dar am găsit mai multe sensuri şi nu sînt lămurit. Ca să putem vorbi aceeaşi limbă.

Încerc.  

În mecanica clasică, ”mișcarea” înseamnă evoluția în timp a gradelor de libertate relevante din punct de vedere mecanic ale unui sistem fizic. În problema pe care o tratez aici, gradele de libertate sunt distanța relativă dintre două particule și orientarea acesteia față de un sistem de referință fixat în centrul lor de masă.

”Câmp” poate însemna diverse lucruri în fizică. În problema mea este vorba despre câmpul gravitațional newtonian, care este reprezentat de o funcție vectorială a cărei valoare în fiecare punct din spațiu depinde numai de distanța dintre acel punct și sursa câmpului (de aceea se numește câmp ”central”, deoarece este independent de orientarea față de centru). Acest câmp se manifestă fizic prin generarea unei forțe de atracție ce scade cu inversul pătratului distanței dintre sursă și punctul de interes, ea acționând în sens atractiv asupra oricărei alte particule cu masă, care este trasă spre ”centrul” (adică sursa) câmpului.

Mulţumesc! Mișcarea, evoluția în timp, grade de libertate, sistem fizic, particule, sistem de referință, centrul de masă, câmp, gravitație, funcție vectorială, punct din spațiu, sursa câmpului, forțe, ... bănuiesc că au fost definite după observaţii. Deci, la nivel macroscopic, pentru problema pe care o studiezi tu, dacă vrem să ştim ce vorbeşti pe aici, ar trebui să ştim, măcar, ceea ce reprezintă fiecare, nu? Şi abia după aia relaţiile dintre ele. Cine e interesat le va găsi, că vezi că explică dex-ul brici.

Se poate spune că mişcarea e evoluţia în timp a spaţiului?

Toate lucrurile pe care le-ai înșirat acolo sunt concepte abstracte, asociate acelor aspecte ale realității care sunt relevante în fenomenul studiat. Evident că toate au definiții riguroase, pe care le găsești în tratatele de specialitate. Dacă o să urmărești expunerea, vei vedea că am inclus explicații foarte detaliate, dar am trecut repede peste concepte precum vectori sau puncte, pe care eu le consider că ar trebui să fie familiare și înțelese pentru orice care a făcut măcar 8 clase. Dar dacă încă ai nelămuriri privitoare la ele, mă poți întreba aici sau pe mesageria privată. Răzvan a lăsat la topicul cu documente un link către un manual de fizică excelent, pe care îl poți consulta.

Legat de ultima ta întrebare, ”mișcarea” este un concept foarte vast, și dacă vrei, poate că până la urmă întrebarea fundamentală a fizicii este ”ce este mișcarea?”. Un aspect mărunt al uneia dintre numeroasele fațete ale ”mișcării” este tratat pe acest topic. Într-un alt context însă, întrebarea ”ce este mișcarea?” poate avea un cu totul alt răspuns. În problema discutată aici spațiul este considerat inamovibil, cele care se mișcă sunt corpurile care se află în acesta.

După cum bine vezi Woden/Bordan, când vine vorba de dialog civilizat, nu la mine e problema.

Mersi! Da' nu cred ca a gresit woden cu nimic, ca nici nu am stiut ca nu ai voie mai multe conturi. Ca puteam scrie de pe alt laptop. Trebuie sa le inchid pe celelalte atunci, ca sa fim corecti. Oricum am vrut sa ma retrag o perioada. Salut! Cand revin sper sa fiu mai ... calugarit ... ))

Ceva mai înțelept ți-ar prinde mult mai bine.

Orice particulă şi orice corp emite un câmp de atracţie şi de respingere.
Întrebări:
1)-Care este definiţia noţiunii de "câmp central"?
2)-Există cumva şi "câmp marginal"?
3)-La ce fel de "câmpuri" se poate aplica teoria ta?
Problemă:
Care este poziţia centrului de masă Soare-Terra ţinând cont de mişcarea Terrei în jurul Soarelui?

Raspunsul la fiecare intrebare este tratat amanuntit in materialul prezentat de mine. Aici iti scriu numai sintetic.

1. Un camp central este un camp de forte ce depind numai de distanta particulei fata de sursa campului, si nu de orientarea acesteia sau de alti parametri fizici (cum ar fi viteza). Cu alte cuvinte, este o problema cu simetrie sferica. Rotatiile nu schimba fizica.

2. Nu stiu ce intelegi prin camp "marginal", dar exista campuri de forte care nu sunt centrale.Campul de inductie magnetica al unei bobine este unul dintre cele mai banale exemple.

3. Campurile gravitationale slabe, cum sunt cele din sistemul nostru solar, sunt aproximate foarte bine de acest model de camp central. Campul dintr-un atom poate la randul sau sa fie aproximat asa. In fenomene de emisie radioactiva, daca fragmentele sunt incarcate, la distante unde interactia electromagnetica este dominanta, campul poate fi din nou descris de modelul central, cum se poate descrie si pentru fenomene de imprastiere atata timp cat suntem departe de regimul relativist, adica in sistemul centrului de masa viteza relativa v este mult mai mica decat c.

Am dat raspunsul la problema intr-un dintre primele mesaje, mai exact aici.

2. Nu stiu ce intelegi prin camp "marginal", dar exista campuri de forte care nu sunt centrale.Campul de inductie magnetica al unei bobine este unul dintre cele mai banale exemple.

Cred ca se refera la tensiunea superficiala a unei pelicule.

3. Campurile gravitationale slabe, cum sunt cele din sistemul nostru solar, sunt aproximate foarte bine de acest model de camp central. Campul dintr-un atom poate la randul sau sa fie aproximat asa.

Nu stiu daca ti-ai pus intrebarea; ce determina saturarea unui camp, adica de ce campul central al nucleului atomic dat de numarul de protoni, este saturat de numarul de electroni egal cu numarul de protoni? Teoretic un camp central cu actiune la infinit trebuie sa nu se anuleze niciodata, ori dupa cum se stie sunt atomi de genul aurului care nu se combina chimic cu nimic. Dupa parerea mea campul se inchide la infinit numai atunci cand nu exista in apropiere o alta posibilitate, dar cand electronul este aproape de proton, campul se inchide, si aproape toate liniile de forta dispar la o distanta mai mare decat a electronului. Deci campul nu mai are simetrie sferica ci capata forma unui ovoid ce uneste cele doua particule. In acest caz, liniile campului electric seamana mai mult cu liniile unui camp magnetic.

Impuls de atractie ? ?

Omuldinluna,
Iti reamintesc promisiunea veche, neonorata, pe care ai facut-o privind raspunsul la intrebarea:

Daca definim forta de " atractie gravitationala "cum definim , cum explicam mecanismul fizic al producerii impulsului de " atractie"?

Nu-mi amintesc sa fi facut vreo promisiune, dar iti raspund cu placere.

Impulsul are o singura definitie in intreaga mecanica newtoniana,  anume este produsul dintre masa corpului si viteza acestuia:



Nu conteaza daca mobilul tau se deplaseaza intr-un camp atractiv sau repulsiv, central sau necentral, conservativ sau disipativ. Definitia generala este aceeasi. Forma explicita a vitezei depinde de situatia pe care o tratezi. Orice problema de mecanica se reduce in esenta la a rezolva ecuatia , unde forta este data, iar membrul drept este variatia in timp a impulsului. Odata rezolvata ecuatia si obtinuta legea de miscare a mobilului, ai la indemana toata informatia in ceea ce priveste mecanica sistemului, deci poti scrie explicit orice marime fizica ce te intereseaza. Zi-mi daca te intereseaza expresii explicite pentru impuls in cadrul problemei pe care o discut aici.

Dincolo de matematica, in intimitatea fenomenelor

Poti continua pe alt topic potrivit.
Daca originea fenomenului gravitatie terestre -in conceptia oficiala- este Pamantul, atunci ar trebui explicat ca exista un model de "resort" intre un corp si pamant, care imprima un impuls de "atractie."

Ori gravitatia nu este de natura elastica, nu creste cu distanta.
In ultima instanta ma intereseaza fenomenele intime din materie care propulseaza un corp nu numai aproape de pamant, ci si in spatiu.

Ecuatiile  seci nu ma satisfac.
Eu caut sa inteleg dincolo de ele, fenomenologic.
Cunosc definitie impulsului mecanic.

PS: daca vei cauta in postarile tale, vei gasi pe undeva promisiunea ta.

Fizica este o stiinta a naturii ce opereaza cu cantitati masurabile. Ecuatia aia seaca iti descrie un fenomen fizic. Iti permite sa calculezi pe hartie marimile pe care le masori, ca sa le poti compara cu cele obtinute in laborator. Cand marimile calculate sunt in concordanta cu cele masurate, inseamna ca ai elaborat o teorie buna care explica ceva despre natura.

Revenind la intrebarea ta, Newton a inglobat practic intreaga mecanica in urmatoarele afirmatii:

Corpurile libere se misca rectiliniu si uniform. Daca asupra unui corp actioneaza o forta, miscarea lui deviaza de la cea rectilinie si uniforma, forma explicita a acestei deviatii depinzand de proprietatile fortei respective.

Daca te intereseaza originea fortei gravitationale, atunci stii deja care este raspunsul. Cea mai buna explicatie de pana acum este cea data de Einstein, unde ceea ce intelegem prin forta gravitationala nu este altceva decat miscarea libera a corpurilor intr-un spatiu-timp cu o geometrie diferita de cea euclidiana, natura acestei geometrii fiind dictata de configuratia materiei prezente in spatiu-timp. Intr-o situatie particulara regasesti tocmai ceea ce am prezentat eu pe acest topic, dar sunt si alte posibilitati.

Electromagnetismul lui Maxwell si  Gravitatia lui Einstein

Eu nu pot concepe ca un corp real se misca intr-o geometrie anume, liber si in acelasi timp propulsat!

Unele experimente pun in evidenta forte de propulsie electromagnetica care anuleaza si intrec gravitatia, creind efectul de antigravitatie.
Deci este posibila o interactiune electromagnetism/ gravitatie.
Nu vad cum se impaca actiunea campului electromagnetic cel domestic, cu geometria lui Einstein.
Ca sa existe interactiune gravitatie / electromagnetism
cele doua entitati trebuie sa aiba ceva in " contact",
Electromagnetismul descris de Maxwell si gravitatia de catre Einstein, mi se par incompatibile.

Unde se intalnesc?

Nu exista nici o incompatibilitate intre ecuatiile lui Maxwell si teoria relativitatii. Nici nu are cum sa fie, din moment ce Einstein a construit teoria relativitatii tocmai in jurul ecuatiilor electromagnetismului. Mai departe, cum un camp electromagnetic contine energie, atunci acesta ar trebui sa modifice prin simpla sa existenta geometria spatiu-timpului prin care se propaga. Efectul este prezis de teoria relativitatii, dar inca nu s-au descoperit campuri electromagnetice suficient de puternice incat efectul sa fie observabil. Speranta mea e ca se va putea verifica acest lucru cu un laser de mare putere, in anii urmatori.

Un exemplu simplu este eclipsa solara faimoasa de la inceputul secolului XX. Einstein a prezis ca traiectoria razelor de lumina (campuri electromagnetice) care trec prin apropierea Soarelui va fi curbata, si a calculat curbura acestei traiectorii. Estimarea sa a fost ulterior confirmata de masuratorile astronomilor. Folosind modelul newtonian al gravitatiei, deviatia respectiva este prezisa incorect.

Noi suntem obisnuiti cu ecuatiile lui Maxwell care descriu campuri electromagnetice intr-un spatiu-timp plat, dar astfel de campuri pot exista la fel de bine pe geometrii diferite. Ele sunt descrise de ecuatii mai generale, care se restrang la cele obisnuite pentru situatia particulara a spatiu-timpului plat.