Mișcarea în câmp central

Rezumarea primului mesaj :

Incep prin a va ruga sa ma scuzati pentru faptul ca nu voi folosi diacritice in aceste mesaje, dar e posibil sa am ceva formule de scris in TEX (evident, le voi si explica amanuntit) si imi va usura destul de mult munca aceasta scriere mai barbara.

Obiectivul este sa lamurim fizica din spatele interactiei a doua corpuri, cand forta care actioneaza asupra lor depinde numai de distanta dintre ele, desi cateva rezultate se pot aplica si pentru forte mai generale, dupa care in masura posibilului, sa explicitam teoria pentru cazul particular al gravitatiei asa cum a fost descrisa de Isaac Newton. Va fi o discutie nerelativista, deoarece pentru sisteme gravitationale precum Pamant-Luna corectiile aduse de Einstein sunt insignifiante (cel putin dupa cunoasterea mea). Natura este in mod cert mai complexa decat o vor arata aceste calcule, Pamantul si Luna nu sunt puncte materiale si discutia se poate extinde spre studiul deformarilor celor doua corpuri in urma interactiei, spre influenta interactiei asupra miscarii de rotatie a Pamantului in jurul propriei sale axe sau spre consecintele climatice pe care le are prezenta Lunii asupra Pamantului si asa mai departe.

Pe parcurs, vom avea nevoie de diverse formule si metode de calcul, dar cum e putin probabil ca toti cei prezenti aici sa aiba vreo afinitate sau placere deosebita pentru calculul teoretic, voi incerca sa mentin totul in termeni cat se poate de simpli si sa reduc calculul la minim, pentru a face discutia accesibila tuturor.

Cred ca ar fi bine sa inchei aici mesajul introductiv si sa atac direct problema intr-un nou mesaj. Orice fel de intrebari, interventii si sugestii sunt binevenite, caci scopul final este sa invatam unii de la altii.

CUPRINS:

I. Precizari cu caracter general
II.Reducerea problemei celor doua corpuri la problema unei particule fictive in interactie cu un potential
III.Conservarea momentului cinetic
IV.Conservarea energiei
V.Clasificarea orbitelor
VI.Teorema de virial
VII.Ecuatia orbitei
VIII.Teorema lui Bertrand
IX.Problema lui Kepler. Orbitele intr-un camp gravitational
X.Orbitele eliptice. Rezultate analitice

Într-adevăr, dacă n=-2 potențialul se duce ca inversul lui r, și poți verifica imediat în formula care-ți dă forța ca un gradient al potențialului că regăsești forța gravitațională.

Am citit și eu acum despre aceste forțe mareice. În modelul pe care îl tratez aici ele nu apar deoarece vorbesc de puncte materiale adimensionale, dar cu siguranță că în momentul în care vorbim de corpuri reale, de dimensiuni finite, și dorim rezultate mai precise trebuie să le luăm în calcul. Datorită neomogenităților din interiorul corpurilor cerești, forțele mareice induc efecte disipative ce duc la frânarea mișcării de revoluție, dar încă nu îmi este clar dacă asta afectează și momentul cinetic orbital.

Am în plan să discut ecuația orbitei, teorema Bertrand, problema lui Kepler, vectorul Runge-Lenz și ceva idei generale despre ciocniri în câmp central, poate chiar și calculul formulei lui Rutherford. După asta aș vrea să arăt ceva aplicații simple ale întregii teorii, iar poate că cel mai înțelept pas, dacă acel moment ne va prinde pe toți sănătoși, ar fi să discut și mișcarea corpurilor cu dimensiune finită, tot pe un model idealizat, ca să fie calculele accesibile, cum ar fi o sferă elastică omogenă.

Pana in momentul de fata am gasit formal solutiile ecuatiilor de miscare ca functii de timp, de conditiile initiale si de doi invarianti ai sistemului, anume momentul cinetic si energia , adica stim solutiile

si

Ne propunem astazi se eliminam dependenta temporala pentru a obtine ecuatia orbitei, anume dependenta lui de . Din fericire, in cazul fortelor centrale aceasta eliminare se face deosebit de simplu, pornind de la ecuatia pentru variabla unghiulara:



De aici rezulta imediat ca relatia dintre operatorul de diferentiere (sau derivare) temporala si cel de diferentiere unghiulara este pur si simplu



Inlocuirea o facem in ecuatia pe care am gasit-o a corespunde cu legea a doua a dinamicii pentru componenta radiala, anume in

, unde am facut in plus niste simplificari evidente si am scris forta in functie de potential.

Mai departe, facem schimbarea de variabila , adica:

, unde la pasul doi am diferentiat expresia in raport cu cele doua variabile si apoi am rezolvat pentru derivata in raport cu r, tinand cont de expresia lui r in functie de u. Revenim acum in ecuatie,

, iar cum , tot prin regula de derivare in lant, rezultatul dupa simplificare si schimbarea de semn este:



Aceasta ecuatie spune un lucru foarte interesant, anume ca orbita este simetrica fata de punctele de intoarcere. Imaginati-va ca particula a trasat portiunea de orbita dintre cele doua puncte, si fixati un plan perpendiular pe planul orbitei ce contine punctele de intoarcere. Atunci, daca orbita este simetrica, pentru a obtine portiunea ce inca nu a fost parcursa ar fi suficient sa "reflectez" orbita fata de acel plan, ca intr-o oglinda. Daca alegem sistemul de coordonate in asa fel incat punctul de intoarcere sa corespunda chiar unghiului , atunci operatia de reflexie se poate efectua prin substitutia , ce ar corespunde unei rotatii in sens invers fata de acel punct, ori ecuatia pe care am gasit-o mai sus este clar invarianta la aceasta transformare, deoarece variabila apare numai in derivata de ordinul doi, si schimbarea dubla de semn nu schimba nimic. De fapt, aceasta reflexie poate fi facuta in pasi si mai marunti. Oricat de mica ar fi distanta parcursa dincolo de un punct de intoarcere, pot intotdeauna s-o reflectez in sens opus.

Daca revenim la si substiuim diferentiala dupa timp cu diferentiala dupa variabila unghiulara, gasim imediat



Integram de la pozitia initiala la punctul si avem, dupa cateva mici rearanjamente evidente



iar daca in fine facem si schimbarea de variabila , prin artificii foarte asemanatoare cu ce am facut pentru ecuatia orbitei, avem rezultatul final

, unde singura schimbare arbitrara a fost facuta pentru limitele de integrare, pe care le-am trecut in si , ca fiind cele ce corespund capetelor in variabila .

Asta este solutia problemei noastre, ecuatia de mai sus descrie orbita parcursa de o particula intr-un potential dat, dar se ridica intrebarea, in ce conditii poate integrala sa fie rezolvata analitic? Numeric nu exista nici o problema, atata vreme cat nu vorbim de un potential patologic, cu singularitati foarte puternice, un calculator integreaza orice, dar vrem sa stim totusi ce solutii sunt accesibile hartiei si creionului. Cea mai importanta clasa de astfel de solutii este data de potentiale de forma

, unde a este o constanta, astfel ca forta variaza ca puterea n a lui r.

Evident n nu poate lua valoarea -1, deoarece corespunde unui potential constant (al carui gradient este nul, deci asupra sistemului nu actioneaza nici o forta), iar fortele centrale nu descresc precum , deoarece acest comportament rezulta dintr-un potential logaritmic. Genul acesta de potentiale se intalnesc in electrodinamica, potentialul generat de o linie de sarcina electrica (imaginati-va un fir subtire, incarcat), avand aceasta forma.

In orice caz, introducand aceasta expresie generala in integrala noastra, rezultatul este

, unde am tinut cont de relatia intre u si r.

Solutii pot fi exprimate cu ajutorul functiilor trigonometrice simple pentru



si mai exista variante solvabile analitic, de data asta cu ajutorul integralelor eliptice pentru

, deci iata totusi ca avem de unde alege.

Acestia sunt singurii exponenti intregi pentru care se pot gasi solutii simple. Exista si exponenti fractionari ce conduc la integrale eliptice si, daca orice altceva da gres, ne putem baza pe functia hipergeometrica, dar nu este un obiect cu care sa se umble usor. In particular, solutiile exprimate cu ajutorul functiilor trigonometrice si al integralelor eliptice rezulta tot din solutia generala data de functia hipergeometrica. Functia asta (descoperita de Gauss) e mama intregului atlas zoologic din analiza functionala.

Data viitoare vom discuta, fara demonstratie (deoarece este extrem de anevoioasa, eu am gasit-o intr-o singura anexa intr-o carte veche de mecanica), despre una dintre cele mai profunde teoreme din mecanica cereasca, anume teorema lui Bertrand, care ne va spune pentru ce potentiale exista orbite inchise, deci orbite pentru care particula, dupa un anumit timp, se va intoarce exact in punctul din care a plecat. Inainte sa sariti iar cu elicele, va reamintesc faptul ca discut problema in sistemul centrului de masa. Dupa aceea vom ataca in sfarsit problema lui Kepler, vazand ce spun toate aceste rezultate in cazul campului gravitational Newtonian.

Ca de obicei, astept toate intrebarile, remarcile, criticile si comentariile (aveti grija la elice totusi ) aici sau in mesageria privata.

In mesajul de azi discutam un ultim rezultat inainte sa trecem la integrarea ecuatiei orbitei pentru campul gravitational, anume teorema lui Bertrand, descoperita de matematicianul francez Joseph Louis Francois Bertrand in 1873. Acum am aflat si eu de pe wikipedia ca omul nu a fost (cum imi imaginam) un astronom ci un matematician de succes, care si-a lasat amprenta pe domenii diverse precum teoria numerelor, teoria probabilitatilor, geometria diferentiala dar a avut contributii chiar si in economie si termodinamica.

Astazi insa, in mod exceptional, nu voi expune toate detaliile demonstratiei acestei teoreme foarte frumoase deoarece sunt destul de greoaie, aride, si pana la urma neinteresante. Din pacate se mai intalnesc genul acesta de situatii in stiinta, cand in spatele unor rezultate de mare eleganta si frumusete se ascund socoteli deloc atragatoare, cum se mai intampla ca din parinti urati sa iasa copii superbi.

O orbita inchisa intalnim in situatia in care particula, dupa un anumit timp, se reintoarce in punctul pe care l-am considerat ca pozitie initiala, de coordonate , iar intrebarea care se pune este: ce fel de potential atractiv poate genera asemenea orbite? Cand am discutat despre clasificarea orbitelor am vazut ca pentru orice moment cinetic , orbita este circulara daca potentialul efectiv are un punct de extrem (nu trebuie sa fie doar minim, poate sa fie si maxim, vom vedea imediat de ce!) la distanta , iar energia sistemului este egala chiar cu valoarea potentialului in acel punct. Existenta punctului de extrem al potentialului efectiv implica anularea fortei efective la acea raza, lucru ce conduce, asa cum am vazut deja, la conditia:

, care ne spune ca forta trebuie sa fie atractiva pentru ca orbite circulare sa poata exista. In plus, cum deja am spus, valoarea energiei totale trebuie sa fie egala cu valoarea potentialului efectiv in acel punct, deci avem

, unde va reamintesc faptul ca am definit potentialul efectiv ca fiind suma dintre potentialul "real" al campului de forte si termenul centrifugal.
Stim ca expresia generala a energiei totale contine si un termen cinetic, de forma , ori comparand cu expresia de mai sus vedem ca pentru o orbita circulara, viteza radiala trebuie sa se anuleze, lucru de altfel, de domeniul evidentei. Cele doua formule scrise mai sus pot fi citite si invers, anume putem spune ca orice camp atractiv central poate produce orbite circulare, cu conditia ca la raza cercului, momentul cinetic si energia sa fie date de cele doua expresii.

Caracterul orbitei circulare tine insa de natura punctului de extrem. Daca vorbim de un minim, atunci urcand putin valoarea energiei, orbita va devia de la circularitate, dar miscarea va ramane legata, pe cand in cazul unui punct de maxim, crescand energia putin, particula poate scapa cu totul din campul de forte, dupa cum se poate vedea in imaginile pe care le-am postat in mesajele anterioare. Spunem ca pentru un punct de minim, orbita este stabila, pe cand pentru un punct de maxim, ea este instabila. Cum caracterul unui punct de extrem al unei functii este dat de semnul derivatei de ordinul 2 a functiei in acel punct, acelasi lucru trebuie sa fie valabil si pentru stabilitatea unei orbite circulare si astfel vorbim de orbite stabile pentru derivate de ordinul 2 pozitive (astfel incat potentialul efectiv "tine apa") si instabile in caz contrar. Matematic deci, o orbita este stabila daca pentru potentialul efectiv , la o anumita distanta , este satisfacuta conditia:



Al doilea termen din membrul drept este, in virtutea primei ecuatii, , deci inegalitatea se poate inversa incat sa arate ca

.

Dupa cum stiti, derivata logaritmului natural al lui x in raport cu x este chiar inversul lui x, asa ca putem face o integrare formala in cuadratura de mai sus, ca sa o aducem la forma

, unde schimbarea sensului inegalitatii deriva din faptul ca raportul , cum se vede din prima formula. Nu va bateti capul cu demonstratia acestui pas, ca sa fie facut cinstit pana la capat trebuie utilizata o teorema destul de urata din analiza matematica, si nu se merita pentru discutia de fata.

Daca in vecintatea lui , forta se comporta ca , unde constanta de proportionalitate este considerata pozitiva, atunci conditia de stabilitate scrisa in prima forma (fara derivate logaritmice) este

, sau .

Iata ce rezultat remarcabil! Un potential central atractiv, ce variaza ca o putere a distantei, mai lent (dar inclusiv) ca , poate produce orbite circulare stabile indiferent cat de departe sau de aproape este punctul de minim al potentialului efectiv.

Daca orbita circulara este stabila, cum am spus deja, o crestere mica a energiei conduce la o mica variatie a lui in jurul lui . Se arata (nu chiar atat de) usor ca ceea ce rezulta este o miscare armonica simpla in variabila in jurul lui , de forma

, unde a este amplitudinea oscilatiei ce depinde decat de mult am crescut energia fata de valoarea pentru orbite circulare, iar este un numar ce rezulta din dezvoltarea in serie Taylor a fortei in jurul razei orbitei circulare. A treia cantitate este evident unghiul azimutal. Tot (nu) la fel de usor, se gaseste legatura dintre acest numar si forta, prin expresia

.

La o maturare completa, de catre vectorul de pozitie, a planului miscarii, au loc cicluri ale oscilatiei, iar daca este un numar rational, raportul a doi intregi si , de forma , atunci dupa revolutii vectorul de pozitie si-ar calca din nou pe urme, astfel ca orbita este inchisa. In imaginea urmatoare vedeti ceea ce vreau sa spun, pentru cazul in care este suficienta o singura revolutie pentru inchiderea orbitei.



Pana in momentul de fata am concluzionat ca atata vreme cat la o raza data conditia de stabilitate este satisfacuta, atunci cu momentul cinetic si energia corecte, putem genera o orbita circulara la acea distanta. Intrebarea la care trebuie sa mai raspundem este: ce fel de forte vor pastra orbita inchisa, daca deviem putin parametrii implicati de la conditia de circularitate? In primul rand, rezulta imediat ca nu trebuie sa fie numai un numar rational, trebuie sa fie acelasi numar rational pentru toate razele la care orbite circulare sunt posibile. De ce acest lucru este asa, se vede tot dintr-o parte omisa a demonstratiei: in dezvoltarea Tayloriana, nu poate lua decat valori rationale; daca lucrurile ar sta totusi altfel, acesta ar fi obligat sa varieze discontinuu cu , ceea ce ar conduce la o variatie discontinua a numarului de revolutii necesar pentru a inchide orbita, ori acest lucru ar deveni imposibil la fiecare punct de discontinuitate. Astfel, cu acest parametru constant, ecuatia care il leaga de forta devine o ecuatie diferentiala pentru aceasta din urma, atata vreme cat nu uitam ca este valabila numai pentru acele valori ale lui ce satisfac conditia de stabilitate. Si aceasta ecuatie se poate scrie ca o derivata logaritmica:

.

Integrala se face destul de usor si rezultatul final este:



Toate fortele de acest tip, cu rational conduc la orbite inchise in cazul in care conditiile initiale sunt deviate foarte putin de la cele de circularitate. Daca parametrul este luat 1, regasim gravitatia Newtoniana, ce variaza cu inversul patratului distantei dar si forta care ar rezulta din, sa spunem, ar produce orbite inchise.

Ce s-ar intampla in cazul in care conditiile initiale nu ar devia putin fata de conditiile de circularitate? Bertrand a rezolvat problema asta, tinand un termen in plus in seria Taylor si luptandu-se cu calculele dificile si a gasit un rezultat impresionant: pentru deviatii de la circularitate mai mari de ordinul 1 in seria Taylor, orbitele raman inchise in numai doua cazuri: si . Prima valoare ne duce la campul gravitational Newtonian, sau la campul Coulombian al unei sarcini electrice punctiforme, pe cand al doilea rezultat produce, in mod poate surprinzator, legea lui Hooke, oscilatorul armonic! Acestea si numai acestea sunt fortele care pot produce orbite stabile inchise pentru o combinatie arbitrara de moment cinetic si energie (cea din urma fiind evident negativa). Astfel, afirmatia finala a teoremei lui Bertrand este:


Singurele forte centrale ce produc orbite inchise pentru toate particulele legate sunt forta ce variaza cu inversul patratului distantei si forta ce variaza liniar cu distanta.

Se regaseste acest rezultat in realitate? Din observatiile facute in sistemul solar, planetele au orbite aproximativ inchise, micile deviatii rezultand din perturbatia produsa de prezenta celorlalte planete din sistem (sa nu uitam ca nu este o problema pura de doua corpuri, in realitate exista influente asupra miscarii unei planete din parte tuturor celorlalte). Orbitele s-au gasit a fi riguros inchise pentru multe sisteme de stele duble ce au fost observate, unde influenta altor astre este prea mica pentru a le perturba. Forta lui Hooke este un exemplu total nerealist pentru interactii la distante mari, caci implica o forta ce creste infinit de mult cu distanta de separare (este amuzant insa faptul ca desi acest comportament pare absurd in discutia noastra, quarcii tocmai asta fac!), si ajungem la concluzia ca teorema lui Bertrand cuplata cu observatiile astronomice sunt suficiente pentru a realiza ca gravitatia variaza cu inversul patratului distantei, caci nici o alta forta nu ar putea crea orbite inchise intr-o gama atat de larga de conditii.

Concluzia din urma poate fi reformulata intr-un fel ceva mai semnificativ pentru fizica moderna. Miscarea orbitala in plan poate fi vazuta ca o compunere a doua miscarii oscilatorii, una in coordonata radiala iar cealalta in coordonata unghiulara, ambele avand aceeasi perioada. Caracterul orbitelor in camp gravitational defineste legea fortei. Mai tarziu vom reveni la acest aspect, cu un rezultat surprinzator, ce are implicatii profunde chiar si in mecanica cuantica.

Gata, discutia generala a fost incheiata. Pregatiti-va pentru calcule in forta, caci de data viitoare ne apucam de rezolvarea explicita a problemei lui Kepler. Va urma dupa aceea o discutie despre vectorul Runge-Lenz, imprastierea particulelor in camp central (unde vom gasi chiar si faimoasa formula a lui Rutherford ce a dus la conceperea modelului planetar al atomului) si in final, o mica discutie despre problema celor 3 corpuri. In cateva mesaje o sa va anunt si o surpriza, care sper eu, va va bucura.

Ecuatiile de miscare in camp central fata de un sistem de referinta
considerat fix se compune din miscarea datorata traseului absolut,
datorata traseului relativ si cea data de traseul de transport .
In raport de aceste miscari ,avem o miscare absoluta, o miscare relativa si de transport a mobilului a carei acceleratie este:

important este termenul :

pe care nu l-ai luat in calcul si care este acceleratia Coriolis dupa descoperitorul ei.

Ceea ce scrii este foarte corect, dar este valabil într-un sistem de referință neinerțial, adică într-un sistem ce are o mișcare intrinsecă de rotație, ori încă nu este cazul la analiza pe care o fac eu aici.

După cum ai văzut în primele mesaje, eu nu am impus cum trebuie să arate ecuațiile, pur și simplu am descompus mișcarea celor două particule față de un referențial fix, în mișcarea centrului de masă și mișcarea lor relativă, și după ce am arătat că mișcarea centrului de masă este o simplă translație, neinteresantă pentru studiul fizicii interne a sistemului, am rescris problema chiar în centrul sistemului de masă, unde nu supraviețuiește decât mișcarea relativă a particulelor, reprezentată prin mișcarea masei virtuale în jurul centrului de forță. După cum vezi, un termen centrifugal este prezent în ecuațiile mele.

Când o să discut dinamica unui corp rigid în câmp central, s-ar putea să am nevoie și de termenul Coriolis (acest aspect încă nu l-am gândit până la capăt, este momentan dincolo de ceea ce mi-am propus pentru topic).

Oricum, e foarte bună observația și sper că am lămurit-o.

Ma bucur ca iei in calcul acest aspect (acceleratia Coriolis) ,iar rotatia trebuie sa o iei de asemenea in calcul ,pentru ca ai vazut in spatiu toate corpurile au mai mult sau mai putin si o miscare de rotatie...

Deocamdată, în modelul meu există numai rotație orbitală, relativă între cele două corpuri, deoarece le consider puncte materiale, ori acestea nu au grade de libertate de rotație internă (cel puțin nu în fizica clasică, în teoriile cuantice există un fenomen intern ce se poate trata ca o rotație, dar este o asemănare pur formală). Când o să discut un sistem alcătuit din două sfere, fii convins că va trebui să iau în calcul și rotația intrinsecă a fiecăreia, dar sper că-ți dai seama de pe acum că va fi o discuție mult mai grea decât e aceasta. N-avea nici un sens să sărim direct acolo, fără să înțelegem mai întâi un model mai simplu.

Animat de multitudinea de discutii care se desfasoara zilele astea pe forum, am decis ca a sosit momentul sa ne continuam aventura. Azi incepem sa tratam problema pe care am dorit sa o rezolvam de la bun inceput, anume miscarea in camp gravitational, caci avem la dispozitie toate uneltele necesare.

Astfel, forta care ne intereseaza este

, unde si am scos in evidenta faptul ca este atractiva.

Folosind formula binecunoscuta, , deducem imediat potentialul care corespunde acestei forte, din urmatoarea integrala de drum, in care tinem cont de simetria sferica a problemei (singura coordonata relevanta este cea radiala):



Scriu si in cuvinte ideea. Valoarea la infinit a potentialului o putem fixa arbitrar, caci relevanta nu are decat variatia acestuia cu distanta, asa ca o alegem pentru convenienta sa fie 0, pe baza argumentului ca o forta ce scade in intensitate cu inversul patratului distantei are efecte foarte mici la distante mari fata de sursa, deci intr-un final .

Sunt mai multe cai de atac acum. O abordare ar fi sa introducem aceste formule pentru forta si potential in ecuatia orbitei (trebuie sa avem grija sa pastram semnul fortei), anume in:



Daca trecem la variabila , prin calcule foarte asemanatoare cu cele pe care le-am facut cand am discutat ecuatia orbitei, gasim ca



Daca facem substitutia , gasim o ecuatie armonica omogena:



In mod evident, o functie trigonometrica simpla ar fi o solutie particulara a acestei ecuatii. Putem scrie, spre exemplu , unde si sunt constante de integrare, iar facand acum pasii inapoi in variabila si apoi in , ajungem la:

, unde

O alta alternativa este sa folosim integrala generala a lui ca functie de , scrisa pentru cazul nostru particular in care (am dedus aceasta formula cand am studiat ecuatia diferentiala a orbitei si potentiale ce variaza ca o putere a razei):

, unde inca nu am specificat limitele de integrare, deoarece vrem sa aratam mai intai cum se rezolva in general o astfel de integrala. Constanta din fata integralei este determinata de conditiile initiale, dar nu trebuie sa corespunda in mod neaparat unghiului initial de la momentul initial (o sa vedem mai incolo ce informatie contine de fapt).

In orice caz, observam ca integrala noastra de variabila , are urmatoarea forma generala:

, unde am vrut sa scot in evidenta faptul ca la numitor avem o forma patratica sub radical. Ideea ca vom dori sa ajungem cumva la functii trigonometrice acolo.

Forma patratica o restrangem in felul urmator:



Acum facem schimbarea de variabila , de unde rezulta imediat ca



Daca ne uitam la integrala problemei noastre (in variabila u), vedem ca si , deci putem rescrie aceste marimi ca

, unde m si n sunt numere pozitive si avem grija sa nu confundam acest m cu masa redusa a sistemului (nu prea avem cum sa o facem, ca cele doua nu coexista in aceleasi ecuatii, dar sa fim prevazatori).

Cu aceste inlocuiri, integrala a devenit



Promit ca urmeaza ultima schimbare de variabila, dupa care o luam inapoi din aproape in aproape.



Mai priviti odata de unde am pornit, si iata la ce am ajuns:

, unde functia constanta ce trebuia adunata la primitiva (e totusi o integrala nedefinita), am ales-o sa fie nula. Asta ca sa nu fim acuzati de cei pasionati mai mult de matematica decat de fizica de faptul ca nu suntem cinstiti pana la capat.

Inversam ultima schimbare de variabila, anume , si atunci



Stim acum ca , insa vom omite scrierea lui , deoarece vrem sa il includem in misterioasa noastra constanta de integrare . Cu acest amendament asupra utilizarii formulei si revenind in , am gasit ca

, unde



Trecem la marimile de interes fizic si revenim la ecuatia pentru de la care am pornit. Inversam functia arccos si folosim faptul ca inversa ei, functia cosinus, este para, adica , iar intr-un final revenim la variabila radiala . Tine cateva randuri sa facem toate astea dar sunt lucruri absolut banale, asa ca trec aici numai rezultatul:



Aceasta este orbita unei particule in camp gravitational. Este evident deci cine este , este chiar unghiul de intoarcere al orbitei. Remarcati ca desi am stabilit faptul ca problema are patru constante ale miscarii, apar numai trei in formula. Avem energia, momentul cinetic, si unghiul de intoarcere; asta este o proprietate caracteristica a orbitei, caci cele trei marimi contin toata informatia necesara pentru a o descrie. A patra constanta ar fixa pozitia initiala a particulei pe orbita, dar aceasta informatie este irelevanta, atata vreme cat nu ne intereseaza sa gasim explicit legea de miscare a particulei (ajungem si acolo, putin mai tarziu).

Daca am dori sa folosim acest ultim rezultat ca sa integram legea de conservare a momentului cinetic , e clar ca am avea nevoie de unghiul initial facut de raza particulei cu sistemul de coordonate.

Cine stie geometrie analitica, ne poate spune care este formula unei sectiuni conice avand un focar in originea sistemului de axe. Mare surpriza, formula este:

, unde e este excentricitatea sectiunii conice. Pentru detalii privind aceasta formula recomand pagina de wikipedia.

V-am demonstrat deci, ceea ce de mult va promisesem.

Intr-un camp gravitational, orbita particulei este mereu o sectiune conica.

Se subintelege ca iau ca reper sistemul centrului de masa. Comparand rezultatul nostru cu formula din geometrie, vedem ca excentricitatea este data de

, iar natura orbitei depinde de marimea excentricitatii in felul urmator:

hiperbola
parabola
elipsa
cerc

Iata si o imagine cu figurile geometrice enumerate, unde la 1 avem parabola, la 2 cercul si elipsa, iar la 3 avem hiperbola.



Aceasta clasificare se potriveste cu schema generala pe care am discutat-o la inceput, cand am facut o analiza calitativa a miscarii, ca functie de energie, pe baza formei potentialului efectiv . Conditia pe care am gasit-o pentru orbite circulare este echivalenta cu cea discutata anterior, din urmatorul motiv.

Pentru o orbita circulara, energiile cinetica si potentiala sunt constante in timp. Atunci, din teorema de virial

, unde am folosit formula potentialului gravitational scris pentru o raza constanta egala cu raza orbitei circulare.

Daca va amintiti, conditia de circularitate era ca la raza , forta centrala sa fie egala si de sens contrar cu forta pseudoforta centrifugala, adica . Revenind cu asta in conditia pentru circularitate extrasa din teorema de virial pentru campul gravitational, gasim ca

, exact conditia pentru circularitate impusa de anularea excentricitatii. Teoria tocmai a trecut un test de consistenta, caci conditia generala si cea particulara pentru campul gravitational s-au dovedit a fi echivalente.

Ca de obicei, astept orice fel de critici, intrebari sau sugestii. Daca vi se pare ca am mers prea repede cu calculele nu ezitati sa-mi spuneti unde v-ati pierdut si rescriu si mai amanuntit. In mesajul urmator vom analiza foarte atent proprietatile orbitelor eliptice.

Felicitari !
Hristev mai facea demonstratia asta pana la capat,dar ce ai tu este mult mai pe larg explicată. Totusi sa si critic ceva:
- la o citire sumara nu mi-am dat seama ce este cu Hooke,trebuia sa specifici identic cele doua potentiale : -1/r si r^2 -sau forte
-pentru sistemul de 2 quarci un model mult bun se obtine pe un potential logaritmic decat pe cel r^2.

Când o să termin prima parte a discuției (e o parte mare ) adică în câteva mesaje (le mai fragmentez ca să fie mai micuțe și mai ușor de digerat) o să editez un cuprins în mesajul de deschidere ca să se poată sări ușor de la un punct la altul. Până una alta, dacă te uiți în mesajul în care am discutat teorema lui Bertrand, o să vezi următoarea formulă,

, unde semnul - specifică faptul că e vorba de o forță atractivă.

Teorema spune că dacă sau , toate orbitele legate sunt închise, adică după un anumit timp (care poate fi destul de lung heh), particula se întoarce exact din punctul pe care l-am considerat ca poziție inițială, evident dacă ne raportăm la sistemul centrului de masă, ca să nu sară cei cu elicele pe mine. Ori prima valoare, introdusă în formulă, redă exact forta invers proporțională cu pătratul distanței, precum gravitația, iar a doua o forță care crește liniar cu distanța, adică tocmai legea lui Hooke pentru forțe elastice. Exemplul cu quarcii l-am dat numai ca să arăt că există sisteme în natură pentru care energia de interacție crește atunci când componentele sistemului sunt separate la distanțe din ce în ce mai mari. Din câte știu o forță tip Hooke poate să modeleze destul de bine un sistem legat quark-antiquark, dacă tratăm problema cuantic desigur, dar nu m-am ocupat niciodată îndeaproape cu astfel de lucruri.

Oricum, mulțumesc pentru atenția acordată!

Nu am zis ca nu este corect,am vrut sa zic ca exprimarea m-a indus in eroare:
"Singurele forte centrale ce produc orbite inchise pentru toate particulele legate sunt forta ce variaza cu inversul patratului distantei si legea lui Hooke."
Era mai ok asa dupa parerea mea:
Singurele forte centrale ce produc orbite inchise pentru toate particulele legate sunt forta ce variaza cu inversul patratului distantei si forta ce variaza liniar cu distanta"
Este doar o parere a se trata ca atare

Adevărul e că ai dreptate. Am luat notă și am corectat. Mulțumesc!

omuldinlună

Cat despre sistemul de doi quarci -candva eram interesat de subiect
Daca ma scutur un pic cred ca mai am pe undeva si programul de simulare a ecuatiei cuantice nerelativiste a potentialului logaritmic

Faceți cunoștință cu kepler, programul pe care m-am decis să-l dezvolt, având ca scop principal amuzamentul meu, pentru rezolvarea problemelor în câmpuri centrale. E într-un stadiu incipient, deocamdată l-am învățat să calculeze secțiuni conice și verific să văd că o face corect. Vă atașez pentru început următoarea poză:



Am reprezentat ecuația orbitei sub forma , unde membrul stâng l-am numit rază normată. Am ales punctul de întoarcere să corespundă la 0 radiani, și iată că cifra pi pe care am omis-o în calcul se regăsește cum trebuie în rezultat, căci corespunde punctului față de care orbita este simetrică. Trebuie să învăț să etichetez axa x în multipli de pi și să fac ploturi în coordonate polare, ca să se vadă frumos orbita. Oricum, din grafice se vede foarte clar că raza este constantă pentru excentricitate 0 (deci este un cerc), după care avem un caracter eliptic tot mai pronunțat, pe măsură ce excentricitatea crește (vedeți că avem un periheliu și un afeliu pe măsură ce particula parcurge intervalul unghiular). Când e=1, în punctul de întoarcere apare o singularitate, cred că o să se vadă mai bine ce vreau să zic atunci când voi face ploturi în coordonate polare.

Nu înțeleg de ce mi-a făcut gimp atât de mică poza, dar oricum, până să obțin ceva cu adevărat interesant o să mă prind cum să le măresc.

ROGER PENROSE...se joaca cu....chestiunile astea...muuuult mai frumos....si totusi.....aceasta CONICITATE....nu este altceva decat proiectia EFT(elicoida fundamentala de transfer)...de la solutiile diverse ale ecuatiilor de camp ale lui Einstein pana la metematica lui Perrose...totul este...IDENTIC!......pana si BIB-BANG.....nu este o explozie ci...o miscare in camp central...pe divergenta conicitatii(efect de departare....iluzia de explozie)


Orice elicoida fundamentala de transfer...are aceeasi geometrie(vortex in , transport, vortex out)...o aceeasi miscare in camp central...

...orice miscare este..."in camp central"..!..

Cred totuși că Penrose a depășit demult nivelul acesta, cred că-și bate capul cu lucruri mai complicate. Recitește descrierea topicului și primul mesaj dacă nu ți-e clar ce vreau să fac eu aici.

Ok, haideți că am învățat să folosesc gnuplot și în coordonate polare, nu sunt chiar mare maestru dar merge. Ca să nu încarc forumul inutil, las numai linkuri către poze, deși dacă vreți pot să le încarc aici în continuare.

Am calibrat unghiul de întoarcere al orbitei în așa fel încât la 0 radiani să fiu la punctul de maximă depărtare față de focar. M-am jucat cu el și orbita se comportă corect, rotindu-se în plan în funcție de poziția acelui punct.

Aici las iar plotul radial pentru secțiuni conice cu excentricitate subunitară: https://i.imgur.com/tAb4sEN.jpg

Și aici las plotul echivalent în coordonate polare. Le-am lăsat pe toate pe aceeași pagină ca să se vadă foarte clar cum crește caracterul eliptic odată cu excentricitatea: https://i.imgur.com/EjzmcVk.jpg

Acum vânez greșeli foarte subtile în cod, în caz că mi-a scăpat ceva. Mai pe seară încerc să văd ce iese pentru excentricități mai mari sau egale cu 1.

Totodată, din prima poză se vede caracterul perfect periodic al orbitei. De aceea cred că într-o problemă pură de două corpuri nu există precesie. Pot să fac plotarea pe un interval și mai mare ca să vă convingeți, dar sunt tot mai convins că fenomenul are originea în factori externi sistemului.

dar sunt tot mai convins că fenomenul are originea în factori externi sistemului.

.....ai premonitii bune!
NU, originea este intotdeauna un cumul a 3 factori, intern, extern...si un tractor.
1) INTERN- tine sistemul compact, la centru, prin legaturi
2) EXTERN - interactioneaza cu alte sisteme compacte
3) TRACTORUL - introduce dinamica in sistem
....
Exemplu- picatura de ploaie INTERN-creeaza "sfera", EXTERN-o bate vantul,TRACTOR fiind gravitatia.
Identificarea celor 3 bivectori....este OBLIGATORIE...
Mecanismul planetar nu face exceptie
- TRACTORUL - intreg sistemul solar, impreuna cu alte sisteme ...se rotesc si avanseaza catre centrul galaxiei....PE BRATELE GALACTICE Aceasta actiune este totala, adica TOT ce este in galaxie cade sub incidenta tractorului....subgravitational-rotativ.
- LEGATURILE INTERNE sunt legaturi de tip gravitational...ce leaga in manunchiuri sistemele (sistemul solar si planetele sale), gravitational-rotative
- INTERACTIUNILE EXTERNE - sistemele interactioneaza intre ele, desi toate se indreapta catre tractor...o fac intr-un anumit fel!
...
NEGLIJAREA ORICAREI ACTIUNI DIN CELE 3 duce la EROARE!
....exemplu...
...NU EXISTA MISCARE IN CAMP CENTRAL FARA EXISTENTA A "CEL PUTIN" 2 COMPONENTE DE FORTA! (FORTA DE TRACTIUNE si forta care "modifica" sensul acestei tractiuni)...
DACA TAIEM LEGATURA LA CENTRU(sfoara)....BILA ISI CONTINUA INERTIAL MISCAREA..."DREPT"...
Daca facem experimentul, mental, intr-un vagon in miscare, apare vizibila si.... dinamica laterala, de front!.."miscarea pamantului"!
...
PRACTIC TOATE SISTEMELE SUNT LEGATE PRIN . Vc, Vi, Vf!
ACESTEA SUNT INTOTDEAUNA INDEPENDENTE!
...
...si..."CONICITATEA"...DESCRIE EXACT ACESTE COMPONENTE...
-TRACTORUL...dinamica pe axa, catre vf conului
-Legatura interna si cea externa, dinamica de incercuire a axei...
...aceste veritabile "gauri de vierme" devin astfel prezente in tot ce exista. Universul devine astfel....plin de miscari in camp central, ce interactioneaza intre ele...si care se indreapta catre diverse "universuri de buzunar" din intregul... MEGAvers!

Mi se pare mie, ori chiar aşa e: braţele galaxiei Andromeda nu sunt plane?


Să fie oare dovada faptului că „particulele” din braţe se deplasează pe elice închise? Cum explică teoriile actuale neplaneitatea acestei structuri?

Imaginile acestea foarte frumoase sunt luate din lumea reală, nu din niște formule de pe hârtie. Nici nu ar avea sens să-ți pui problema coincidenței unor particule adimensionale într-un plan, când toate corpurile în realitatea au dimensiuni finite. În particular, cele care compun o galaxie sunt foarte, foarte mari . Vezi totuși însă că aproximația plană este una bună.

La fel de important, la studiul unei galaxii per ansamblu e clar că nu mai ai de-a face cu o problemă de două corpuri. Ai sute de miliarde de stele acolo, și cred că atunci când vrei să înțelegi structura în întregul său ansamblu, trebuie să găsești metode de a include influența tuturor în ecuațiile tale. În momentul de față habar nu am cum se face asta, dar dacă vă place subiectul, îl putem îndrepta în direcția aceea.

Cum am mai tot scris, ceea ce prezint aici reprezintă numai punctul de pornire pentru rezolvarea unor probleme reale de astronomie. Acesta este alfabetul cel mai elementar al mecanicii cerești (prezentat într-un limbaj destul de vechi) de la care fiecare dezvoltă mai departe în direcția care îl interesează. Oricum, o să încep să-i prezint și aplicații mai concrete în curând, ca să nu rămâneți cu impresia că sunt doar povești de matematică.

Edit: uite am căutat, se pare că primele aproximații pentru dinamica unei galaxii se pot face cu ajutorul teoriei haosului, spre care ne vom îndrepta și noi ușor, ușor. Terminăm bine de tot probleme de două corpuri, și apoi după preferințe, ori trecem la dinamica unor sisteme de dimensiune finită, ca să includem și forțe mareice și rotații intrinseci, ori trecem la 3 corpuri ca să ne pavăm drumul spre haos.

Imagini oarecum asemanatoare se pot obtine experimental in ceasca de cafea sau ness, amestecand cu grija, pentru un timp apar aceste brate spirale. Tensiunile superficiale din spuma cafelei imita cumva legaturile gravitationale dintre astre, si chiar miscarea, avand o viteza unghiulara mai mare spre centru si din ce in ce mai mica pe margini.
Incercati si ve-ti ramane surprinsi.

In cafeaua ta este vorba de circulatie tip... LANGMUIR..indusa de mecanismul de convectie..in principal!(TOR-CILINDRU in teorie unificata)

Este vorba de mecanismul DINAMICII DE FRONT..DINAMICA LATERALA A EFT adica...UFT...(teorie unificata)
Interactiunea LATERALA ( Vf) este a circulatiilor ELICOIDALE ( Vt, Vi) Tractorii sunt diferiti....

...
DAR IATA CE SE INTAMPLA LA ATRACTORUL COMUN....
....si iata si spuma...BRATELOR....!
MECANISMUL ESTE UNIFICAT DEJA...SI SCARA DE PRODUCERE....NU CONTEAZA!
Sparnelul, vortexul-spiralat de par, este constituit din fire de par(brate)...tot ELICOIDALE...INTREGUL TAU CORP...functioneaza, de la nastere...FUNDAMENTAT PE INFORMATIA DIN ELICOIDELE PRIMORDIALE...ADN...!

Chiar daca ECUATIILE DE CAMP - EINSTEIN...arata deja aceasta manifestare......ABSOLUT NICI O MAIMUTA NUI VEDE ASTA!


....
SE CAUTA GAURILE DE VIERME PRIN UNIVERS....INSA NU SE POATE VEDEA PADUREA...DIN CAUZA COPACILOR....TOTUL ESTE GAURA DE VIERME!.....gauri de vierme...IN INTERACTIUNE, O INTERACTIUNE CE RESPECTA CODUL FUNDAMENTAL...!...era asa de simplu de atasat o rotatie(chiralitate) si un sens acestor conicitati...si sa lelasam sa interactioneze...PUR SI SIMPLU AM FI VAZUT REGULI...cand si cum se atrag sau resping...insa deja este tarziu...AVETI 502 ani in spate...!...doar Abel are 198...mai in spate...!

Tensiunile superficiale din spuma cafelei imita cumva legaturile gravitationale dintre astre

....insa daca cafeaua este ...rece si o agiti, virgil are dreptate...eu m-am referit strict la....fierberea(convectia caldurii) cafelei si plasarea.."spumei"...!

Abel;

Mi se pare mie, ori chiar aşa e: braţele galaxiei Andromeda nu sunt plane?

Avand deaface cu miliaarde de stele, fenomenul trebuie interpretat statistic. Abaterile de la planeitate descriu o curba foarte ascutita dealungul axei oz. Probabil curba va arata asa, dar mult mai ascutita;

Totdeauna viitorul curge spre trecut, prin viitor intelegand totalitatea evenimentelor ce va sa vina, iar prin trecut totalitatea evenimentelor ce au trecut. Trecutul si viitorul se raporteaza totdeauna la observatorul numit prezent. Evenimentele nu au nici o legatura cu miscarea elicoidala sau cu gaurile de vierme, ele fiind niste fenomene statistice rezultate din interactiunile celor patru forte.

omuldinluna a scris:Vezi totuși însă că aproximația plană este una bună.

Eu văd că, dimpotrivă, aproximaţia plană este dăunătoare, pentru că vă îndepărtează atenţia de la adevărata esenţă a lumii: elicea.

virgil a scris:Avand deaface cu miliaarde de stele, fenomenul trebuie interpretat statistic. Abaterile de la planeitate descriu o curba foarte ascutita dealungul axei oz.

De acord, statistic. Dar esenţial este că traiectoriile-alea nu sunt plane, ci au o torsiune nenulă.

Abel Cavaşi a scris:

virgil a scris:Avand deaface cu miliaarde de stele, fenomenul trebuie interpretat statistic. Abaterile de la planeitate descriu o curba foarte ascutita dealungul axei oz.

De acord, statistic. Dar esenţial este că traiectoriile-alea nu sunt plane, ci au o torsiune nenulă.

Si daca toate orbitele sunt plane, dar unele in plane diferite inclinate cu cateva grade? cum poti observa ceva care se misca in milioane de ani?

Poţi interpreta şi aşa lucrurile, dacă vrei să baţi pasul pe loc. Dar, dacă vrei să accepţi ce ne spune teoria formulelor lui Frenet, atunci vei înţelege că nicio traiectorie nu merită a fi considerată plană, ci merită a fi considerată cu torsiune nenulă ca să-i putem aplica formulele lui Frenet.

Si daca toate orbitele sunt plane,

....DAR DACA...elefantii roz....zboara....!
Ideea generala ...DACA....inseamna IMAGINATIE...iar eu nu pot decat sa fiu ...elicoidal, sustinandu-l pe Abel...care pricepe mai repejor...problematica!

Modelul pe care îl tratez în momentul de față are aplicabilitate 0 pentru un sistem precum o galaxie. Este însă foarte bun ca bază de pornire pentru înțelegerea dinamicii sistemului nostru solar, deși mai avem ceva de bătut până acolo. Măcar cum e cu Luna și Pământul sau cu Soarele și Pământul să înțelegem mai întâi cum stau lucrurile, deja când o să extindem problema la trei corpuri o să vedem că ni se lărgesc foarte mult orizonturile, chiar dacă și dificultatea problemelor va crește foarte mult. Nu sunt expert în direcțiile acestea, dar mi-aș consuma timpul liber pe acest făgaș, dacă sunteți și voi interesați de expuneri, altfel putem trece la altceva odată ce am încheiat cu două corpuri.

@Abel:

Știu că am trecut foarte repede peste considerentele foarte generale ale mecanicii teoretice, tocmai din dorința de a ține teoria la minim și a prezenta aplicații cât mai mari la fizică, dar poate că procedând așa s-a pierdut de fapt esența lucrurilor (și aici e posibil să mă intersectez cu alt topic). Studiate dintr-un reper extern, cele două corpuri descriu elice în spațiu, căci peste mișcarea lor relativă se suprapune o translație generală într-o direcție dată (dinamica de front, cum ar zice stimabilul ). În sistemul centrului de masă însă, traiectoriile sunt plane, și orice sistem de corpuri din galaxie ai studia, atâta timp cât o vei face din sistemul centrului său de masă, și câtă vreme sistemul poate fi măcar aproximat cât de cât cu rezultatele unei astfel de analize, traiectoriile observate vor fi plane.

Genul acesta de studiu ne permite înțelegerea fizicii intrinseci a sistemului, studiul dintr-un reper extern nu face decât să adauge un grad de libertate în plus pentru sistem care este neinteresant din punct de vedere fizic.

omuldinluna a scris:În sistemul centrului de masă însă, traiectoriile sunt plane, și orice sistem de corpuri din galaxie ai studia, atâta timp cât o vei face din sistemul centrului său de masă, și câtă vreme sistemul poate fi măcar aproximat cât de cât cu rezultatele unei astfel de analize, traiectoriile observate vor fi plane.

Tocmai aici e problema. Tocmai aici zic eu că nu-i în regulă. Căci, din punctul meu de vedere, chiar şi în sistemul centrului de masă traiectoria nu este plană! Altfel spus, torsiunea nu trebuie să fie nulă în niciun sistem de referinţă. Nu ştiu dacă această observaţie trebuie ridicată la rang de postulat, dar e clar că natura nu ne arată nicio traiectorie cu torsiune nulă. Atunci de ce s-o anulăm noi? O fi vreun postulat al Fizicii actuale, torsiunea asta nulă?