Spirala Logaritmica, nr. "e" si ecliptica

Ecuatia spiralei logaritmice, in coordonate polare, este de forma:

r = a*℮^kθ

Unde a este un coeficient, o constanta; k = tgα - o constanta; r – raza polara; θ – unghiul facut de raza polara cu axa de zero/de coordonate/ ; α – unghiul constant al oricarei spirale logaritmice, facut de normala intr-un punct de pe spirala cu raza vectoare a acelui punct.

Considerand raza r₁ = 1 si, dupa o perioada 2π, raza r₂ (aflata pe aceeasi raza vectoare cu r₁), avem o crestere de raza data de raportul r₂/r₁ = a℮^2πk/a℮^0k = ℮^2πk, un raport de asemenea constant, o rata de crestere de fapt.

Academicianul JIRMUNSKII A. V., biolog oceanolog, a facut o descoperire interesanta privitoare la periodicitatea aparitiei momentelor critice de pe curbele de crestere ale sistemelor vii. Prin sisteme vii intelegand atat fiinte vii individuale cat si populatii de fiinte, intr-un cuvant sisteme naturale/vii; legile de crestere sunt exact aceleasi pentru fiinte individuale sau pentru comunitati de fiinte/populatii, indiferent de natura fiintelor, fie ele oameni, insecte, scoici, etc. In legatura cu aceasta periodicitate de aparitie a momentelor critice pe curba de crestere a sistemelor vii a promovat ideea existentei unei constante universale, egala cu ~15,15 si care este ℮^℮ .

Daca egalam aceasta constanta, ℮^℮ , care e o rata de aparitie/de crestere/ , cu rata de crestere a razelor spiralei, obtinem:
r₂/r₁ = ℮^2πk = ℮^℮
de aici, k = tgα = ℮/2π
Rezulta valoarea pentru unghiul alfa, unghi care defineste practic el singur spirala logaritmica, de 23^o 23’ 40,775’’
Nimic deosebit pana aici decat ca acesta este unghiul eclipticii!
La anul 2000 ecliptica avea unghiul 23^o 26’ 21,448’’.
Dintr-o carte de astronomie am cules informatia ca acest unghi variaza intre 21^o 55’ si 24^o 18’. In prezent acest unghi se micsoreaza cu 0,47’’/an.
Unghiul eclipticii corespunzator calculului facut pe spirala ar corespunde anului 2.342 e.n.

Intrucat numarul "℮" se numeste natural tocmai din cauza regasirii lui mult prea frecvente in natura si se afla cvasipermanent in solutiile ecuatiilor diferentiale (ecuatia de crestere a sistemelor vii este o ecuatie diferentiala) e de presupus ca exista o legatura foarte stransa intre el si inclinatia eclipticii (inclinatia axei de rotatie a Pamantului) iar acest calcul ar putea fi o dovada directa a acestei legaturi. Desigur, aceasta “potriveala” nu e o demonstratie ci o ipoteza de lucru.

Interesant este ca facand raportul dintre intervalul de 5320,7’’ (existent intre unghiul de 21^o 55’ si 23^o 23’) si intregul interval de variatie a unghiului eclipticii - de 8580’’ obtinem o cifra foarte apropiata de numarul de aur. [0,62 in loc de 0,618]

Interesant topic, mm. Cu siguranţă, spirala (şi mai ales cea logaritmică) are o importanţă aparte în lumea naturală. Dă de gândit ceea ce ai scris. Şi văd că ai o oarecare pasiune pentru numerologie .

Aş fi curios să văd dacă se poate face o legătură între spirala logaritmică şi elice. Ceva îmi spune că, totuşi, curbele din spaţiu deţin parcă mai multe secrete ale naturii decât curbele din plan.

Un calcul cu mai multe cifre nu insemna neaparat numerologie. Intentia mea a fost sa pun in evidenta prin valori numerice o coincidenta ce poate fi expresia unei legaturi fizice. Ma asteptam din partea unui participant serios la astronomy sa-mi faci observatie cu privire la limitele precesiei, respectiv la precizari suplimentare. Spun acest lucru deoarece in aceeasi carte de astronomie, la ecliptica valoarea intervalului de variatie a unghiului este cel dat de mine in postarea anterioara dar la precesie se dau alte limite, apropiate, respectiv, 21^o59' si 24^o36'. Nu am inteles de ce.

Fara indoiala ca exista legatura intre sp. log. si elice. Iata ce spune N. Mihaileanu in "Geom analitica, proiectiva si diferentiala":
...spiralele sunt curbe transcendente (nu sunt algebrice) si ca orice elicoid, desfasurat in spatiu, este aplicabil peste un con....
Pot sa adaug aici ca intre sp. log. de pe con si proiectia ei pe planul bazei exista relatia:
tgx₁ = tgx/sin v , pe care am determinat-o candva din curiozitate.
x - unghiul sp. log. (conice) desfasurate;
x₁ - unghiul proiectiei sale pe baza conului;
v - semiunghiul conului
In felul acesta am aratat ca oricarei sp. log. din plan ii corespunde si una in spatiu. In felul acesta cred ca te vei putea face legatura cu acele curbe spatiale de care vorbeai.

Iata cateva consideratii (cred ca din ST+T, Nr. 8-9/90) :
"Exista in stiintele moderne niste cercetatori ai formei - Filomorfii. Cei moderni considera (ca si Aristotel, Platon sau Goethe) ca forma constituie o realitate fundamentala a naturii. Parintele modern al filomorfilor , britanicul SIR D'ARCY THOMPSON, naturalist si matematician, a emis teoria ca forma biologica reflecta direct actiunea fortelor fizice care se manifesta in cadrul sistemului biologic respectiv."
Alte consideratii, (dintr-o sursa pe care nu o mai pot identifica):
"Clasa spiralelor s-ar putea defini spunand ca ele reprezinta traiectoria unui punct care se indeparteaza (sau se apropie) de un altul, prin rotire. E vorba de combinarea a doua miscari: expansiune si rotire in plan. Cand miscarile de expansiune sunt intr-un plan diferit de cel al rotatiei, curbele obtinute sunt intr-un plan diferit de cel al rotatiei (?) , curbele obtinute sunt "surorile spatiale" ale spiralelor - ELICELE.
Sp. log. este una echiunghiulara. Asa se explica de ce insectele care observa o sursa luminoasa mereu sub acelasi unghi (una din fatetele ochiului sau fiind indreptata spre sursa) se deplaseaza conform unei sp. log...."
"Interesanta si aparitia unor spirale "pirat" peste structura de baza. Numarul sp. directe si al celor "pirat" (retrograde) constituie termeni succesivi ai sirului lui Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, etc. Iata exemplul fructului de ananas, sunt prezente 5 sp. directe si 8 retrograde. La conul de pin sunt 8 directe si 13 pirat. In timp ce la corola unei margarete sunt 21 sp. directe si 34 iluzorii."[Acum stie toata lumea ca sirul Fibonacci e legat de Nr. de Aur.] "Matematicienii studiaza spiralele, elicele fiind pentru ei simple extensii. Invers se intampla in natura: un punct de pe supraf. Pam. descrie in raport cu Soarele o elice. Luna descrie in rap. cu Soarele o elice, un punct de pe Soare descrie o elice in rap. cu Galaxia, care , ea insasi e o spirala."

Fain zis, nu-i asa? Si uite cum ne apropiem fara stire de Occ. Chemistry, ba si de o fosta preocupare comuna a noastra pe acest forum, etc. Vreau sa mai zic ceva, indiferent ce fenomen real studiezi, este cu desavarsire imposibil sa nu regasesti si nr. de aur pe acolo. Si asta nu e numerologie!

Mulţumesc pentru informaţii. N-am nicio obiecţie.

Eu consider ca ai avut obiectii.
Vad ca nu mi-ai raspuns la intrebarea de astronomie, la care am presupus ca sti mai mult intrucat esti un membru marcant al acelui forum.

Axa de rotaţie a Pământului mai execută şi o mişcare de nutaţie care este echivalentă cu variaţia unghiului pe care îl face axa de rotaţie cu perpendiculara pe ecliptică. Fiind teoretician, nu mă preocupă prea mult valorile exacte în măsura în care acestea nu sunt esenţiale.

Nutaţia
Este variaţia unghiulară pe care o face axa de rotaţie a Pământului cu axa de precesie, perpediculară pe ecliptică.
Are un ciclu de 18,6 ani si se datoreste atracţiei gravitaţionale cu care Luna acţionează asupra Pământului. Ciclu de nutaţie al Pământului coincide cu ciclu de precesie a orbotei Lunei.

Multumesc, nic. Definitia o stiu si eu.
"Cea mai mare oscilatie (ce produce nutatie) este produsa de variatia cu putin peste 10^o a inclinarii planului orbitei lunare fata de planul ecuatorului terestru, in legatura cu miscarea retrograda a nodurilor orbitei lunare in timp de 18,6 ani - perioada principala a nutatiei." Incheiat citatul. Cu alte cuvinte, Luna e cauza nutatiei Pamantului.
"Termenii principali ai nutatiei sunt:
-17,23''sinΩ (nutatie in longitudine) si,
+9,21''cosΩ (nutatie in inclinare),
unde Ω este longitudinea nodului ascendent al orbitei lunare."
Din pacate nu cunosc valoarea lui Ω iar Abel nu vrea sa ma ajute pe motiv ca, citat:
Fiind teoretician, nu mă preocupă prea mult valorile exacte
Din pacate aici nu suntem de acord si am mai discutat cu alta ocazie ca nu exista cercetare teoretica si am aratat /demonstrat si de ce.

Daca ai deschis alt topic, secundar subiectului discutat aici, sa inteleg ca ocolesti diplomatic raspunsul/colaborarea directa si valorile numerice pe care le asteptam de la un mai cunoscator ca mine? Nu te mai intereseaza precesia?

Este foarte posibil ca din punctul de vedere al valorilor precesiei şi nutaţiei să nu fiu mai cunoscător decât tine, aşa că nu înţeleg de ce insişti pe un lucru atât de banal. Iar faptul că nu mă interesează precizii nemaiîntâlnite în legătură cu precesia nu înseamnă că nu mă mai interesează fenomenul în sine.

Lucrul "banal" pe care insist eu, si "precizia nemaiintalnita" este cercetarea banala pe care am facut-o cateva zeci de ani. Ca sa zic altfel, orice amanunt conteaza, niciodata nu vei putea fi suficient de precis. Sigur ca a discuta despre cercetare poate arata mai elevat decat a face cercetare [care chiar arata banala, ca de ex. verificarea unor formule date prin carti savante si care niciodata nu coincid cu ce masori, documentare banala si plictisitoare prin carti si articole pline de savantlacuri si de formule de matematici speciale care pana la urma nu-ti folosesc la nimic in problema careia trebuie sa-i gasesti rezolvarea, basca descoperirea de greseli de tiparire ce se strecoara intotdeauna prin formule, colaborare cu specialisti (profesori universitari) dupa care alergi in zadar pana te prinzi ca ei nu pot iesi din "litera celor invatate" si multe alte "banalitati" care iti consuma timpul si nervii]. Ultima paranteza e off topic.
Mai bine am colaborat cu sandokhan care "raspunde in linkuri", linkuri din care am aflat multa informatie neobisnuita. Si deloc cu cei care nu catadicsesc sa-ti dea o informatie numerica chiar daca o au dar poate le este lene sa o caute prin biblioteca personala sau nu au timp sau te intreaba la ce-ti trebuie.

Motivul pentru care am deschis acest topic a fost de a comunica o singura idee:
existenta unei legaturi intre nr "e" si inclinatia axei de rotatie a Pamantului (respectiv a eclipticii desi nu e chiar acelasi lucru).
Calculele prezentate chiar in prima postare, poate ca au "ecranat" aceasta idee dar ele pot fi o baza de plecare/validare. In fapt aici au fost implicate:
-nr. "e";
-unghiul eclipticii;
-spirala logaritmica;
-cresterea.
Constanta e^e este cel mai specific indicator al cresterii /dezvoltarii sistemelor vii (dar si a celor considerate nevii cum ar fi sistemul solar). Spirala logaritmica este si ea o forma grafica ce descrie expansiunea/cresterea. Daca avem o semidreapta (o rigla) ce se roteste cu viteza unghiulara constanta in jurul originii sale, considerata fixa, si un punct material ce se deplaseaza pe semidreapta, pornind din origine, dupa o lege de miscare oarecare, obtinem ca traiectorie a punctului fata sistemul fix de coordonate o spirala. Daca miscarea punctului pe dreapta (aflata la randul ei in miscare uniform circulara) este uniform rectilinie (v=ct.) atunci se obtine spirala lui Arhimede; cred ca la miscare uniform accelerata se obtine ca traiectorie o spirala logaritmica (inca nu am verificat). Sandokhan a dat niste linkuri cu merkaba in care sunt niste spirale log. cinetice minunate

Nu este deloc lipsit de importanta ca intervalul total de variatie a unghiului eclipticii (precesiei Pam.) e impartit in raportul de aur "de numarul e" /in sens figurat, prin intermediul spiralei log.), proportia de aur fiind o alta extrem de raspandita (si particulara in acelasi timp) in natura. De aici pornind, de la natura, de la realitate, de la aceste dependente/presupuse legaturi/ se pot deduce importante legi sau se pot descoperi acele taine stiintifice pe care cautatorii pasionati le "vaneaza" [si au sanse sa le descopere mult mai repede decat pornind de la (nefericita expresie) "cercetarea teoretica".

Sunt dator sa precizez de ce e^e ar fi un numar important. Pentru simplitatea dovedirii importantei sale, iata exemplul cresterii fiintei umane plecand din momentul fecundarii ovulului:
-care incepe sa se divida trecand prin binecunoscutele stadii de morula, blastula, gastrula, etc.;
-stadiul de gastrula este considerat un nivel/moment/ critic in dezvoltarea sistemului/embrionului/ si se intampla cam dupa 18 zile de la "momentul zero" ;
*[Aprecierea caracterului (de nivel) critic al stadiului critic/varstei critice/momentului critic/ se face dupa numarul crescut de "defecte" ce apar in acele momente/stadii ale diagramei de crestere.]
*[In coordonate dublu logaritmice, lnv-lnd, v - varsta, d - dimensiunea sistemului, diagrama de crestere arata ca o linie dreapta ce schimba de directie (se frange) la palierele critice (micsorandu-si de fiecare data unghiul facut cu abscisa.]
-inmultind 18 z cu constanta e ^e=15,15 obtinem un alt palier/nivel critic al dezvoltarii embrionului de 274 z, momentul nasterii (caracterizat dupa cum se stie, de un numar crescut de "accidente";
-varsta pubertatii, de ~11 ani se obtine inmultind 274 z cu 15,15 din nou;
-varsta maxima a omului se poate obtine din nou folosind aceeasi constanta pe care o inmultim cu varsta pragului precedent si rezulta 167 ani.

Nu numai la oameni se inregistreaza aceasta cadenta/legitate de aparitie a "frangerilor" curbei/dreptei/ de crestere ci la orice vietuitoare sau la orice populatie de fiinte, ba chiar si la momentele de aparitie (de separare) a epocilor geologice sau la dimensiunile sistemului solar.

mm a scris:Motivul pentru care am deschis acest topic a fost de a comunica o singura idee:
existenta unei legaturi intre nr "e" si inclinatia axei de rotatie a Pamantului (respectiv a eclipticii desi nu e chiar acelasi lucru).

Ar însemna că planeta Pământ are ea ceva privilegiat faţă de natură din moment ce tocmai între înclinaţia axei sale şi numărul e ar exista această fascinantă legătură. Mă cam îndoiesc că Pământul beneficiază de vreun asemenea privilegiu.

Omenirea de pe Pamant se afla in situatia "privilegiata" de a nu sti ce e pe alte planete, mai ales din cauza ca prin "experimente mentale " de tip Einstein, dupa cum chiar tu ai zis, a ajuns la concluzia ca nu e viteza mai mare ca "c" si ca atare nu s-au mai preocupat sa o depaseasca si sa viziteze normal si celelalte planete, macar ale sistemului nostru solar. Pentru ca sa masoare. Si nu ca sa presupuna ca si pe alte planete functioneaza numarul "e" si e si acolo un "numar natural". Poate ca tocmai din cauza inclinatiei respective a axei de rot. a Pamantului, e e "natural". Pe alte planete poate ca altele sunt numere naturale. Nu-i asa?

poate e de ajutor link-ul http://newsletter.uaic.ro/?p=55 si link-ul http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0903/0903.1348v1.pdf si poate gasiti varianta in limba romana

Foaarte interesant! Multumesc, joben. Problema asta, intr-o forma particulara, conica, mi-am pus-o si eu. Ecuatiile gasite de matematicianul Munteanu pot usura o serie de aplicatii si cercetari. Daca o sa reiau problematica asta in studiu, cu siguranta voi apela la ele.