Simetrie binomială

Oare asta să fi fost demonstrația lui Fermat?
Se spune că într-o scrisoare trimisă lui Euler, parcă, Fermat menționa că are o demonstrație pentru presupunerea lui, că x^n+y^n=z^n nu are soluții naturale x, y, z pentru n>2, dar nu i-ar ajunge marginea paginii.
Sau ceva de genul.
Se pare că s-ar putea demonstra folosind o matematică elementară, dar bazată pe o anumită proprietate de "simetrie binomială", pe care eu personal nu am mai văzut-o nicăieri menționată.
Și destul de ușor de verificat pentru oricine cunoaște un nivel de matematică de liceu.
Caracterul nou este această "simetrie binomială" care, adaptate la soluțiile ecuației, duce la anumite concluzii în ce privește primitivitatea soluțiilor ecuației.

Voi expune în continuare acest aspect și pentru că scriu de pe mobil voi prefera să expun, tot la fel, sub formă de imagini, metoda de inserare a ecuațiilor în LaTex pe forum fiind destul de costisitoare de pe mobil.

În continuare voi expune cum poate fi folosit acest aspect în demonstrarea marii teoreme a lui Fermat.

Pentru n>2.
Dar e o greșeală pe ultima pagină.
În fiecare serie trebuie adăugat în termenii din stânga z, z^2, z^3,....
Nu schimbă mare lucru în concluzie.
Cred.
Analiza a fost făcută în timp ce lucram la serviciu și am fost foarte entuziasmat sa o descriu, fără să stau să o analizez profund.
Am scris-o așa cum am gandit-o.

Adică, pe ultima pagină ar trebui să aibă loc egalității de mai jos, nu cele scrise pe pagină 5:

Și mai este o greșeală pe pagina 2.
Inițial am considerat că a=b+c deși am dezvoltat ca și cum a=c.
Dar cine vrea să înțeleagă, înțelege greșeala și..o pardonează.

Altfel spus, erata de la pagina 5 ar trebui să fie următoarea:

Dacă nu ma pripesc în afirmații, ar fi o o analiza care se conformează unei "forme modulare' prin care s-a și demonstrat teorema.
Dar apelând la alte structuri matematice, deși "adevărul" era la picioarele noastre. Poate. Cumva.
Ceea ce ma face ce să cred că nu întotdeauna ceea ce nu poate fi demonstrat necesită alte perspective pentru a fi demonstrat.

Dacă, să presupunem, ceea ce am prezentat ar fi corect, ar fi un foarte bun motiv să înțelegem că ceea ce se consideră imposibil este posibil din perspectiva unuia care nu știe ce este posibil și ce nu este posibil.

Așa cum voi ați spune "la locul potrivit în momentul potrivit" eu aș spune "omul potrivit pentru problema potrivită".
Eu am multe probleme, să vedem dacă sunt potrivit pentru toate.
Iar eu am în principal o problemă cu numerele prime.

O altă constatare la același nivel de "simetrie binomială" este următorul aspect.
Putem scrie z^n-x^n sub formă de 2 factori și anume:

Pentru n impar și doar pentru n impar, al doilea factor (paranteza mai lungă) poate fi scris într-o formă foarte interesantă folosind toți factorii "binomiali" (combinații de n luate câte x) în felul următor:







Cu alte cuvinte, dacă în loc de z schimbam cu z-x, amplificând toți ceilalți termeni în mod consecutiv cu exact factorii "binomiali" consecutivi se obține factorul lui z^n-x^n.
Dar asta doar pentru n impar.
Pentru n par nu funcționează.

Coreland acest aspect cu ceea ce este menționat anterior în subiect și scriind z-x = x+(z-2x),  în egalitatea de mai sus, în partea dreapta în loc de x putem să scriem z-2x.
Edit:
De fapt, nu greșesc.
Revin.

E prea mult de scris în folosind codecogs și scriu pe hârtie:

Cred că pot să arăt că este imposibilă relația de mai sus.
Adică este valabilă doar dacă z=3x.
Iar asta este valabilă doar pentru n impar.
Edit- mai sunt câteva greșeli pe ici, pe colo, dar doar de redactare.
Cred. Trebuie să verific.

E greșit.
Și de fapt, funcționează și pentru n par, am calculat eu greșit.

Nu știu în ce măsură poate fi de folos acum, dar cu siguranță este un rezultat ce consider că merită menționat.

Se poate demonstra că în dezvoltarea lui z^n-x^n :

factorul din dreapta, paranteza mai lungă, poate fi scrisă sub forma următoare




Adică cu excepția lui (z-x)^(n-1) toți ceilalți termeni conțin în mod consecutivi coeficienții binomiali din dezvoltarea binomului lui Newton pentru exponentul n.

În schimb, toți acești coeficienți ai tuturor termenilor îi putem scrie în mod consecutiv în felul următor:






...

Continuând în aceeași manieră observăm că pot fi scriși coeficienții binomiali ai lui n în funcție de n+1.
Înlocuind în exprimarea factorului reprezentat de paranteza lungă din exprimarea lui z^n-x^n, putem să separăm exprimarea în funcție de coeficienții binomiali pentru exponentul n+1 și coeficienții binomiali pentru exponentul n.

Dezvoltând se ajunge generalizat la o exprimare de genul:



unde u_n este factorul reprezentat de "paranteza mare" din exprimarea lui z^n-x^n.

Exprimând z^(n+1)-x^(n+1) în aceeași manieră cum a fost exprimat z^n-x^n, simplificând cu (z-x) se ajunge la o exprimare identică doar cu exponentul crescut cu o unitate și indicele lui u crescut cu o unitate, aceasta putând fi considerată o relație de recurență generalizată.
Înlocuind tot timpul valorile lui u_n, u_(n-1), u_(n-2),... se ajunge la o exprimare interesantă.
Nu știu deocamdată la ce poate ajuta, dar am considerat că merită menționată în subiect.

Pentru n=3, că doar așa am și verificat, de altfel, ar trebui să avem:

Și totuși, și aici e o greșeală undeva.
Care nu duce la vreo concluzie concretă.
Undeva, în loc de (z-x) am scris x și schimbă tot.

O lectura pentru curiosul :
https://pdfcoffee.com/unchiul-petros-si-conjectura-lui-goldbach-pdf-free.html
Si nu numai pentru el !

O știu, virgil_48, de fapt, am tratat cumva în subiectul ăla cu Lista lui Landau și conjectura lui Goldbach, și vreo alte 4 probleme referitoare la numerele prime.
Îmi amintesc că la acel moment ajunsesem la concluzia că mai mult de cât am analizat în acel subiect nu mai pot face.

În schimb, cred că i-am dat de capăt teoremei lui Fermat intr-un mod cât se poate de clar, cred.
Dar sunt la serviciu acum și o să scriu diseară.
Am tot reverificat coerența și corectitudinea în mintea mea și pare ok.
O să prezint diseară.

curiosul a scris:O știu, virgil_48, de fapt, am tratat cumva în subiectul ăla cu Lista lui Landau și conjectura lui Goldbach, și vreo alte 4 probleme referitoare la numerele prime.
Îmi amintesc că la acel moment ajunsesem la concluzia că mai mult de cât am analizat în acel subiect nu mai pot face.

În schimb, cred că i-am dat de capăt teoremei lui Fermat intr-un mod cât se poate de clar, cred.
Dar sunt la serviciu acum și o să scriu diseară.
Am tot reverificat coerența și corectitudinea în mintea mea și pare ok.
O să prezint diseară.

Am văzut pe internet cartea https://booknation.ro/carti/carte-pdf.php?product_id=1191397.Sții ceva despre aceasta carte?
Ce cărți ai care tratează Marea Teoremă a lui Fermat?

Dacă întrebarea mi se adresează, eu nu prea sunt cu cărțile, Dacule.
Am primit odată una, de teorie a numerelor, pe care am citit-o din scoarța în scoarța și o știu aproape pe de rost, și am cumpărat două, una de fizică atomică și un compendiu de matematică care trata mai mult inele și grupuri.
În rest, nu prea sunt cu cărțile.
Dar citesc destul de mult online subiecte care mă interesează.
Să văd ce am socotit azi în minte cu teorema lui Fermat.
Sper să fie corect.

Și se pare că am dreptate în ce am scris în primele mesaje din acest topic.

curiosul a scris:Și se pare că am dreptate în ce am scris în primele mesaje din acest topic.

Și "problema" este că chiar pot să demonstrez concluzia de pe pagina 5 din postările inițiale din acest topic.

Procedura în sine pe care se bazează demonstrația pe care cred că pot să o dezvolt se bazează în esența ei, pe faptul că în această "simetrie binomială", exprimând dezvoltarea în funcție de orice mod în care poate fi scris x+y ca orice sumă de a+b, dacă în acest tip de dezvoltare binomială se ajunge ca intr-o parte a egalității să fie exprimat în funcție de a, iar în cealaltă parte în funcție de o valoare diferită de b, dacă b1, b2, b3,...,bn, sunt toate diferite în același sens, adică toate mai mici sau toate mai mari, în mod consecutiv, decât valorile lui b, corespunzătoare exponentului său din dezvoltare, egalitatea nu poate fi posibilă.
Iar asta este demonstrabil și concluziile de pe paginile 4 și 5 expuse la început în subiect trebuie obligatoriu să fie adevărate.
Asta înseamnă clar că ecuația nu poate avea soluții intregi, naturale, pentru n>2.

O să prezint în continuare o demonstrație pentru cazul n=3 bazată pe această simetrie binomială.

Conform acestei simetrii binomiale, pentru n=3,  în orice formă poate fi scris u=a+b se ajunge la relația:



Se poate exprima suma x+y în două moduri diferite,
(x+y)=x+y  și  (x+y)=z+(x+y-z)
Aplicând relația de mai sus pentru fiecare caz în parte se ajunge la





În relația (1) trecem membrii din dreapta în stânga și rescriem relația sub forma



unde notăm



și rescriem relația anterioară



Desfacem relația aducând-o la forma



Corelat cu relația (2) putem scrie





Egalitatea de mai sus o putem scrie simplificat sub forma
ab-cd=ab'-cd'
În numere naturale această egalitate implică exprimarea lui b' și d' obligatoriu sub forma:

b' = (b + uc) și d' = (d + ua)

cu u natural mai mare sau egal cu 0.
Înlocuind acest aspect în ultima relație trebuie să avem egalitățile:





Din prima relație se ajunge la 3u(x+y)=2(z-y)
Dacă x, y, z sunt soluții naturale prime intre ele ale ecuației x^3+y^3=z^3, atunci (x+y) este factorul lui z^3, iar (z-y) este factorul lui x^3.
z și x fiind prime între ele, (x+y) și (z-y) nu pot avea factori comuni, deși în egalitatea 3u(x+y)=2(z-y) factorizarea lui (x+y) trebuie să se regăsească complet în 2(z-y), ceea ce înseamnă că x și z nu pot fi prime între ele.

Pentru a generaliza cazul n>2 se poate demonstra in mod asemănător că prin această simetrie binomială x, y, z ca și soluții ale ecuației x^n+y^n=z^n nu pot fi soluții prime între ele.

De regulă, nici eu nu prea am încredere în obiectivitatea concluziilor ce tocmai eu pot să le deduc, motiv pentru care nu pot să accept un aspect din expunerea de mai sus, deși el respectă o anumită liniaritate logică.
Inconsistența de mai sus, raportat la x, y, z ca și soluții ale ecuației x^3+y^3=z^3 se referă la aceea valoare a lui u, care se pare că el trebuie obligatoriu să fie rațional, nu întreg.
Dar dacă u este rațional, fie z+x-y nu poate fi întreg, fie trebuie să avem corespondențele k_1 =x+y-z, k_2= (x+y-z)^2, etc, exact așa cum am anticipat incomplet demonstrat în primele mesaje din topic.

curiosul a scris:Procedura în sine pe care se bazează demonstrația pe care cred că pot să o dezvolt se bazează în esența ei, pe faptul că în această "simetrie binomială", exprimând dezvoltarea în funcție de orice mod în care poate fi scris x+y ca orice sumă de a+b, dacă în acest tip de dezvoltare binomială se ajunge ca intr-o parte a egalității să fie exprimat în funcție de a, iar în cealaltă parte în funcție de o valoare diferită de b, dacă b1, b2, b3,...,bn, sunt toate diferite în același sens, adică toate mai mici sau toate mai mari, în mod consecutiv, decât valorile lui b, corespunzătoare exponentului său din dezvoltare, egalitatea nu poate fi posibilă.
Iar asta este demonstrabil și concluziile de pe paginile 4 și 5 expuse la început în subiect trebuie obligatoriu să fie adevărate.
Asta înseamnă clar că ecuația nu poate avea soluții intregi, naturale, pentru n>2.

De atâtea ori ai spus ba că e greșit ba că nu e greșit, ba că n trebuie sa fie impar ba că n poate fi și par încât nu se mai înțelege nimic.Te rog frumos dă odată demonstrația completă și formulele să le scrii cu https://arachnoid.com/latex/ în modul CodeCogs ca să putem urmări cursiv raționamentul tău și eventual să punem întrebări de clarificare.Nu uita să specifici clar dacă numerele x,y,z fac parte din mulțimea numerelor întregi nenule sau din mulțimea numerelor naturale nenule.
----------------------------------------
Dacă alegi x,y,z mulțimea numerelor naturale nenule te rog să specifici relația de ordine între numerele x,y,z și firesc ar fi ca această să fie x mai mic ca y mai mic ca z.
Dacă alegi mulțimea numerelor întregi vei vedea că este mult mai dificil să găsești o demonstrație.
---------------------------------------
Dacă crezi că ai găsit demonstrația, atunci publică această demonstrație scriind o carte și/sau ia legătura cu secția cu Secția de Științe Matematice de la Academia Română și în acest sens vezi https://acad.ro/institutia/sectii.html.