Traiectorii

Rezumarea primului mesaj :

Ce obliga un corp sa se deplaseze pe o anumita traiectorie?
Un dop de pluta lasat liber pe un rau de munte va urma cursul raului .
Dar o bila de otel? In functie de forta curentului , de masa bilei si de forma ei si ea se va "conforma" mai mult sau mai putin sensului de curgere al raului.
Atunci as putea deduce urmatoarea concluzie: un corp lasat liber se va deplasa neaparat in sensul fortei atractoare rezultante!(de curgere a raului , plus gravitatia plus frecarea cu apa plus fortele interne ce tin bila "inchegata")
O observatie importanta: nu ar exista traiectorii fara forte atractoare! Pe un lac perfect static dopul de pluta nu se misca!(ipotetic, pentru ca nu exista asa ceva in natura)
Problema pe care vreau sa o ridic este urmatoarea:
Miscarea (deci si traiectoriile) sunt rezultatul fortelor de atractie(sau de respingere) rezultante.
Daca luam o particula , asupra ei vor actiona cele 3 tipuri de forte despre care s-a mai vorbit:
forte interne( tin bila sa nu se "imprastie") , forte externe (deviante, perturbatoare) si forte atractoare(sau de respingere).
Interesant este ca aceste forte sunt interperpendiculare una pe alta ,insa rezultanta lor va determina traiectoria.
Si acum practica!
Intuitiv sa incercam sa determinam ce traiectorie va avea un corp(particula) asupra caruia se exercita 3 forte perpendiculare una pe cealalta?
Ce traiectorie considerati ca va avea dopul de pluta fata de pamant?

Noa, nu mă-nnebuni, zău aşa! Doară nu te-i cutremura. Noa ni la el tu ce suferă omu-aiesta! Şi-atunci cu ce doamne se aproximează cel mai bine o elipsă, cu o dreaptă? Noa, ia zâi, să te văd. Mai dă şi nişte răspunsuri, nu doar te cutremura!

Pai cum sa nu te cutremuri cand presupusul "specialist" in geometrie diferentiala debiteza "prostie" dupa "prostie" ?

Daca nu ai fi "patronul" si administratorul siteului deja propuneam  sa deschidem un topic:"Perlele lui Abel"
"Copii spun lucruri trasnite" este o emisiunea de stiinta serioasa pe linga scrierile tale.

Nu am nimic cu tine personal chiar din contra esti aici "vecinul meu" de suferinta  dar "prostia" si "ignoranta" trebuie taxate si eliminate de pe un site de cercetare.
Toti mai gresim dar tindem sa ne corectam in timp,tindem sa ne detailam ideile sa eliminam ce este gresit nu insistam la nesfarsit in idei "putine si fixe"

Până faci rost de niște demonstrații solide, mi-am amintit un detaliu destul de important, apropo de aproximații și geometrie diferențială. Local, un spațiu ne-euclidian are asociat un așa numit ”spațiu-tangent” care este euclidian într-o vecinătate foarte mică a punctului considerat. Asta înseamnă că și pentru două puncte infinitezimal apropiate de pe o geodezică, arcul de curbă care le unește este la limită tot o linie dreaptă, chiar în sensul euclidian obișnuit.

Mezei, dragă, tot nu mi-ai  spus cu ce aproximăm mai bine o elipsă. Iar propunerea cu perlele este bună, măcar aşa o să iasă în evidenţă şi mai multe perle.

@omuldinluna
Chestia cu spaţiul tangent e aceeaşi mărie cu altă pălărie. Păi ce demonstraţii riguroase îţi mai trebuiesc? Ţi-e lene să aprofundezi lucrurile? E la mintea cocoşului.

Hai să ne oprim la curbe plane, dacă cele spaţiale ţi se par mai grele. Prin ce doamne este mai bine aproximată o elipsă, prin segmente de dreaptă sau prin segmente de cerc?

Abel Cavaşi a scris:Hai să ne oprim la curbe plane, dacă cele spaţiale ţi se par mai grele. Prin ce doamne este mai bine aproximată o elipsă, prin segmente de dreaptă sau prin segmente de cerc?

Dar un segment de cerc nu poate fi aproximat, la rândul lui, prin segmente de dreaptă? Că dacă îl aproximăm tot prin segmente de cerc, nu mai putem vorbi de o aproximaţie.

Cum să nu? Un segment de cerc poate fi aproximat prin segmente de dreaptă. Dar aici vorbim despre care este cea mai bună aproximaţie.

Păi nu asta ar fi cea mai bună, că dacă îl aproximăm tot prin segmente de cerc ar însemna că îl aproximăm prin el însuşi, deci n-ar mai fi vorba de nicio aproximare.

Exemplul cu cercul a fost doar unul mai simplu. Poţi raţiona, însă pentru orice curbă. Şi tot segmentele de cerc vor aproxima mai bine curba decât segmentele de dreaptă. Nu-i aşa?

Dacă o curbă poate fi aproximată prin segmente de cerc, iar un segment de cerc prin segmente de dreaptă, nu rezultă că ultima şi cea mai simplă aproximare a unei curbe se face tot prin segmente de dreaptă?

Prin ce se aproximeaza o dreapta ?
Tot asa segmentele de dreapta aproximeaza mai bine dreapta, nu-i asa ?

CAdi are dreptate! Că doar nu vom aproxima o dreaptă prin segmente de cerc.  

Rezultatul din mesajul meu privitor la spațiul tangent e valabil și pentru un ”plan ne-euclidian”. Numărul de dimensiuni al spațiului este irelevant în această problemă.

Până la urmă, și suprafața unei sfere este un ”spațiu neeuclidian”. În acest caz, geodezicele (ca să luăm cele mai simple curbe) sunt cercuri centrate în centrul sferei. Local, suprafața sferei este euclidiană (tot așa cum suprafața Pământului pare plată foarte aproape de suprafață, dacă facem abstracție de formele de relief desigur), iar distanța cea mai scurtă dintre două puncte infinitezimal apropiate este un segment de dreaptă.

Abel Cavaşi a scris:Mezei, dragă, tot nu mi-ai  spus cu ce aproximăm mai bine o elipsă. Iar propunerea cu perlele este bună, măcar aşa o să iasă în evidenţă şi mai multe perle.

Hai să ne oprim la curbe plane, dacă cele spaţiale ţi se par mai grele. Prin ce doamne este mai bine aproximată o elipsă, prin segmente de dreaptă sau prin segmente de cerc?

Este prost pusa problema.
A aproxima inseamna a neglija anumiti termeni dintr-o egalitate.
A scrie aproximatia in functie de "drepte" sau "segmente de cerc" este acelasi lucru(printr-o schimabare de variabila convenabila putem obtine ecuatiile una din alta)
Se face o parametrizare a ecuatiilor si depinde de interesul nostru direct ce parametrii alegem.

Daca o sa am timp si rabdare o sa fac aproximarea elipsei folosind dezvoltare polinomiala (macar in gradul doi neglajind termenii mai mari de doi)

Pana atunci macar cateva observatii:

1-Precizia aproximarii este cu ata mai buna cu cat gradul polinomului este mai mare,
2-Se stie ca orice polinom de orice grad se poate scrie ca fiind un produs de polinoame de gradul intai.
3-Reprezentarea grafica a polinomul de gradul intai este o dreapta
De aici deja fiecare trage concluzia dupa cum il duce capul.

Hopa! Noa, veizi că se poate, Mezei dragă? Bun, şi acuma să vedem cum vă duce capul. Care aproximare e mai bună, cea prin polinom de gradul întâi, ori cea prin polinom de gradul doi? Întrebarea vă sună tuturor, bineînţeles.

Abel Cavaşi a scris:Hopa! Noa, veizi că se poate, Mezei dragă? Bun, şi acuma să vedem cum vă duce capul. Care aproximare e mai bună, cea prin polinom de gradul întâi, ori cea prin polinom de gradul doi? Întrebarea vă sună tuturor, bineînţeles.

Polinomul de gradul doi este o parabola nu un cerc.
Asa ca hopa popa !!
Apropoul tau este pe linga subiect

Păi, aşa se întâmplă dacă nu răspundeţi direct la întrebări, ne tot învârtim în jurul cozii. Şi până la urmă, care aproximaţie e mai bună, cea prin segmente de cerc, ori cea prin segmente de dreaptă?

Abel Cavaşi a scris:Păi, aşa se întâmplă dacă nu răspundeţi direct la întrebări, ne tot învârtim în jurul cozii. Şi până la urmă, care aproximaţie e mai bună, cea prin segmente de cerc, ori cea prin segmente de dreaptă?

Pai nu am zis ca sunt echivalente !
Tu hotaresti cu ce variabile vrei sa lucrezi,dar ecuatiile sunt echivalente

Aproximatia este mai buna cu cat polinomul este de grad mai mare.
Vezi ca este o simulare frumoasa pe pagina:
https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

Cum să fie echivalente? Tu nu faci distincţie între o aproximaţie mai bună şi una mai puţin bună?

Noa, poftim, şi uite-aşa acuma trebuie să vorbim despre deosebirea dintre aproximaţii... Oamne feiri-mă şi mă apără!

Abel Cavaşi a scris:Cum să fie echivalente? Tu nu faci distincţie între o aproximaţie mai bună şi una mai puţin bună?

Noa, poftim, şi uite-aşa acuma trebuie să vorbim despre deosebirea dintre aproximaţii... Oamne feiri-mă şi mă apără!

Hai esti simpatic !
Banuiesc ca nu ai priceput nimic din ce am scris mai sus ?

Fii sigur de asta! Eşti foarte explicit...

Fi atent:
un punct din R^3 il poti descrie prin (x,y,z) sau prin (r,alfa,beta)
exact asa si un punct de pe elice il poti descrie (x,y,z)
(r,alfa,beta) sau (s,alfa,beta) sau (s,r,alfa)
Bineinteles in acest caz ti cont de constrangerile necesare.
Unde
r- este o distanta din (0,0) pana la punct
s- este un segment de cerc.
alfa,beta-unghiuri la centru...

Cursul de geometrie diferentiala pe care il dai tu tot timpul ca si referinta se ocupa de acest aspect chiar in primele pagini (procedeul se numeste parametrizare) vezi poate intelegi mai bine de acolo dar ma indoiesc ca ai sa pricepi ceva ca este un curs la un nivel f ridicat.

Într-adevăr, nu pot eu pricepe ceea ce poţi tu...

Abel Cavaşi a scris:Într-adevăr, nu pot eu pricepe ceea ce poţi tu...

Mersi de incurajare !!      

Vad ca batalia se duce intre dreapta si curba ....

Imaginea aceasta apare în contextul unei discuții legate de integrale de drum.



Este utilă și în contextul acestei discuții însă, ca să înțelegem cele spuse în ultimele mesaje. După cum se poate vedea, pentru a calcula lungimea segmentului de curbă C, mai întâi o împărțim în n arce, și unim capetele fiecărui arc printr-un segment de dreaptă. E clar ca dacă facem procedura ca în imagine, cu numai câteva puncte, obținem o estimare foarte grosieră, dar aici intervine analiza matematică. În limita în care împărțim curba într-o infinitate de arce, iar distanța dintre capetele fiecărui arc devine infinit de mică, suma lungimilor segmentelor de dreaptă care le unesc va da exact lungimea curbei.  

Nu știu cum anume s-ar putea face altfel, ca să fiu sincer . Evident, procedura ține indiferent dacă vorbim de o curbă spațială sau plană (și lungimea unui segment elice se poate calcula așa, în definitiv), într-un spațiu euclidian sau neeuclidian, pentru că, după cum am spus anterior, chiar și pentru un spațiu neeuclidian, în limita în care procedura de mai sus devine exactă, metrica devine euclidiană.

Ca să fie mai clar ce vreau să zic, însăși curba din imagine este un spațiu neeuclidian unidimensional. Distanța dintre două puncte, măsurată pe curbă (adică lungimea arcului respectiv), nu e tot una cu distanța dintre aceleași puncte măsurată în planul euclidian în care curba este scufundată. Însă ambele se pot calcula prin aceeași metodă, diferența fiind că a doua se face dintr-un foc, pe când prima se face dintr-o infinitate de socoteli infinit de mici.

Şi până la urmă, care e cea mai bună aproximaţie, cea prin arce de cerc sau cea prin segmente de dreaptă? Asta ca să putem încheia, cu chiu cu vai, această paranteză şi să putem duce mai departe raţionamentele până ajungem, cu chiu cu vai, iară la elicea circulară.

Păi și lungimea arcului de cerc o calculezi tot aproximând cu drepte . Integrala aia care-ți dă lungimea arcului tocmai asta face, sumează drepte foarte, foarte mici, puse cap la cap de-a lungul arcului. Mai mult, un arc de cerc infinit de mic devine, ce orice segment de curbă infinit de mic, un segment de dreaptă. Dacă nici acum nu e clar, nu știu ce se mai poate face  .

Atat curba cat si dreapta sunt rezultatul unui punct in miscare care respecta o anumita regula. La prima vedere esti inclinat sa crezi ca este mai nimerit sa aproximezi o curba folosind arce de cerc, dar acest lucru implica introducerea unei variabile noi pe langa lungime si raza arcului de cerc, ceia ce complica lucrurile chiar foarte mult, atat pentru lungimea arcului cat si pentru curbura acestuia, mai ales ca le vei compara cu o alta curbura. Cea mai simpla aproximatie ramane segmentul de dreapta, mai ales ca dreapta reprezinta ultimul stadiu de degenerare a unei elicoide. De fapt elicoida poate degenera in doua stari; prima stare inseamna curbura maxima si torsiune zero ceia ce descrie un cerc, iar a doua stare inseamna curbura zero si torsiune maxima, ceia ce se traduce printr-o dreapta.

Păi, văd că trebuie să vă reamintesc de la ce a început toată tărăşenia:

Abel Cavaşi a scris:

omuldinluna a scris:Nu mi-e clar ce înțelegi prin ”liniar”. Traiectoria clar nu e rectilinie, decât pe distanțe foarte, foarte scurte

Aş dori să fac o observaţie aici: traiectoria nu este rectilinie nici pe distanţe foarte, foarte scurte! Traiectoria rămâne elice peste tot, pe distanţe oricât de mici. Dacă veţi înţelege acest lucru, atunci veţi înţelege esenţa Fizicii elicoidale.

O elice nu poate deveni dreaptă pe nicio porţiune, oricât de mică, aşa cum nici un cerc nu poate deveni dreaptă pe nicio porţiune, oricât de mică. Elicea are curbură şi torsiune nenule peste tot, pe orice porţiune, pe când dreapta presupune curbură (şi, eventual, torsiune) nule. Aşadar, nu avem niciun drept să identificăm o elice cu o dreaptă pe porţiuni mici. Micşorând porţiunea pe care studiem o traiectorie, nu-i putem modifica curbura şi torsiunea pe acea porţiune. Şi încă, elicea circulară este singura curbă suficient de simplă şi suficient de complexă încât să ne ofere întreaga bogăţie a proprietăţilor traiectoriilor.

Până nu înţelegeţi aceste proprietăţi, nu aveţi cum să înţelegeţi turbulenţa sau alte fenomene profunde.

Aţi contestat ceva din ceea ce spuneam aici? Spuneam că o curbă nu este rectilinie nici măcar pe distanţe foarte, foarte mici. Şi vă sugeram prin asta să faceţi cele mai bune aproximări ale unei curbe fără a-i neglija curbura şi torsiunea. Ori asemenea aproximări nu pot fi făcute eficient prin segmente de dreaptă, ci numai prin segmente de elice circulare.

Sau, să vă mai dau un pont: dacă alegem să aproximăm o curbă prin segmente de dreaptă, vom avea nevoie de o mulţime nenumărabilă de segmente de dreaptă, pe când dacă alegem să o aproximăm prin segmente de elice circulare, ne va fi suficientă o mulţime numărabilă. Ei, ce ziceţi, pricepeţi avantajul?

Cf. DEX: aproximaţie = Evaluare care este aproape de cea exactă.

Deci nu identică! Aproximarea prin segmente de elice circulare este o identificare, nu o aproximare. Este exact ce face integrala peste segmentele de dreaptă aproximate.

 P-asta cu mulțimea numărabilă de unde ai scos-o? Presupunând că am trăi într-o lume extrem de bizară, elicoidală cum zici tu, pentru calcularea lungimii unui segment de curbă tot la puterea continuumului ai ajunge când ai trece la limită, într-un calcul analitic desigur. Dacă ai integra-o numeric, ai avea o mulțime imensă, dar cât se poate de finită de puncte, deoarece un calculator nu poate înțelege nici cel mai simplu infinit, ce să mai vorbim de continuumul din analiză.

În lumea noastră însă, e demonstrat că orice curbă (continuă desigur) e reductibilă la segmente de dreaptă pe intervale infinitezimale, și ăsta-i finalul poveștii.

Abel Cavaşi a scris: Spuneam că o curbă nu este rectilinie nici măcar pe distanţe foarte, foarte mici.

Vis-a-vis de discuțiile voastre și de ce spune Abel în citat, dacă o curbă, oricât de mică ar fi un segment oricât de mic, se poate demonstra că valoarea lui pi nu mai este 3,14... , ci...4 sau chiar orice altă valoare.
Pentru a înțelege mai bine pe la mijlocul paginii de aici, există ceva interesant, o imagine, prin care autorul demonstrează, între ghilemele, că pi este 4.
Are legătură cu discuția voastră.