Traiectorii

Rezumarea primului mesaj :

Ce obliga un corp sa se deplaseze pe o anumita traiectorie?
Un dop de pluta lasat liber pe un rau de munte va urma cursul raului .
Dar o bila de otel? In functie de forta curentului , de masa bilei si de forma ei si ea se va "conforma" mai mult sau mai putin sensului de curgere al raului.
Atunci as putea deduce urmatoarea concluzie: un corp lasat liber se va deplasa neaparat in sensul fortei atractoare rezultante!(de curgere a raului , plus gravitatia plus frecarea cu apa plus fortele interne ce tin bila "inchegata")
O observatie importanta: nu ar exista traiectorii fara forte atractoare! Pe un lac perfect static dopul de pluta nu se misca!(ipotetic, pentru ca nu exista asa ceva in natura)
Problema pe care vreau sa o ridic este urmatoarea:
Miscarea (deci si traiectoriile) sunt rezultatul fortelor de atractie(sau de respingere) rezultante.
Daca luam o particula , asupra ei vor actiona cele 3 tipuri de forte despre care s-a mai vorbit:
forte interne( tin bila sa nu se "imprastie") , forte externe (deviante, perturbatoare) si forte atractoare(sau de respingere).
Interesant este ca aceste forte sunt interperpendiculare una pe alta ,insa rezultanta lor va determina traiectoria.
Si acum practica!
Intuitiv sa incercam sa determinam ce traiectorie va avea un corp(particula) asupra caruia se exercita 3 forte perpendiculare una pe cealalta?
Ce traiectorie considerati ca va avea dopul de pluta fata de pamant?

 P-asta cu mulțimea numărabilă de unde ai scos-o? Presupunând că am trăi într-o lume extrem de bizară, elicoidală cum zici tu, pentru calcularea lungimii unui segment de curbă tot la puterea continuumului ai ajunge când ai trece la limită, într-un calcul analitic desigur. Dacă ai integra-o numeric, ai avea o mulțime imensă, dar cât se poate de finită de puncte, deoarece un calculator nu poate înțelege nici cel mai simplu infinit, ce să mai vorbim de continuumul din analiză.

În lumea noastră însă, e demonstrat că orice curbă (continuă desigur) e reductibilă la segmente de dreaptă pe intervale infinitezimale, și ăsta-i finalul poveștii.

Abel Cavaşi a scris: Spuneam că o curbă nu este rectilinie nici măcar pe distanţe foarte, foarte mici.

Vis-a-vis de discuțiile voastre și de ce spune Abel în citat, dacă o curbă, oricât de mică ar fi un segment oricât de mic, se poate demonstra că valoarea lui pi nu mai este 3,14... , ci...4 sau chiar orice altă valoare.
Pentru a înțelege mai bine pe la mijlocul paginii de aici, există ceva interesant, o imagine, prin care autorul demonstrează, între ghilemele, că pi este 4.
Are legătură cu discuția voastră.

curiosul a scris:

Abel Cavaşi a scris: Spuneam că o curbă nu este rectilinie nici măcar pe distanţe foarte, foarte mici.

Vis-a-vis de discuțiile voastre și de ce spune Abel în citat, dacă o curbă, oricât de mică ar fi un segment oricât de mic, se poate demonstra că valoarea lui pi nu mai este 3,14... , ci...4 sau chiar orice altă valoare.
Pentru a înțelege mai bine pe la mijlocul paginii de aici, există ceva interesant, o imagine, prin care autorul demonstrează, între ghilemele, că pi este 4.
Are legătură cu discuția voastră.

Mai exact, la asta mă refer :

http://www.gophoto.it/view.php?i=http://4.bp.blogspot.com/-x_OiT6VltOw/TcVZ3xNNoTI/AAAAAAAAAtE/owxgW_f8tkM/s1600/troll_mathemathics_pi.jpg#.Udp8o_n0FLM

Curiosule, diferența dintre autorul blogului indicat de tine, un alt autor pe care îl citează, și grecii Antichității, este că cei din urmă aveau o scuză pentru a nu cunoaște analiza matematică, anume că și-au desfășurat existența cu aproape 2000 de ani înaintea descoperirii ei. Acești băieți, care nu se rușinează să-și plaseze butoanele de ”donate” în preajma ”operelor”, trăiesc la aproape 4 secole după dezvoltarea ei, și tot n-au habar de nimic.

Problema este că, vizualizat ca o curbă, un pătrat nu este o curbă continuă și diferențiabilă, deoarece ai câte o discontinuitate la fiecare colț (pe românește, ca să fie continuu și diferențiabil trebuie să fie neted peste tot). Tocmai de aceea nu poți deforma continuu un pătrat, pentru a obține un cerc, sau invers, și de aceea tot ce prezintă ei acolo este cât se poate de greșit, și nu denotă decât ignoranța lor asupra unor chestiuni elementare de matematică.

Te-ai putea întreba de ce merge totuși să determini lungimea cercului folosind segmente de dreaptă. Asta ține tocmai de faptul că cercul este neted, și are sens trecerea la limită care este implicită în procedură. În cazul nostru, ori de câte ori ai reitera procesul, perimetrul figurii tale colțuroase o să rămână mereu 4, dar nu va face tranziția niciodată la pi, datorită discontinuităților. Limita nu are sens.

Sunt de acord cu ce spui.
De aia am și menționat la un moment dat

curiosul a scris:prin care autorul demonstrează, între ghilemele, că pi este 4.

Am sesizat nuanța, dar ”demonstrează” e mult zis. De fapt, doar spune o tâmpenie.  

omuldinluna a scris:
Problema este că, vizualizat ca o curbă, un pătrat nu este o curbă continuă și diferențiabilă, deoarece ai câte o discontinuitate la fiecare colț

Cu alte cuvinte, raportat la nivel infinitezimal, o discontinuitate, infinit de mică, este și rămâne o discontinuitate.
Oricât de mică ar fi diferența dintre două puncte pe un segment, chiar și infinit de mică, aceea diferență este o diferență nenulă.

Daca mergem pe principiul acesta, discontinuitate ai la orice schimbare
de directie, deci si la o curba nu numai la colturi.
Caci pana la urma la un colt nu sunt puncte in plus sau in minus ,este acelasi punct numai ca urmatorul sufera o schimbare de directie ...

Nu e așa. Încerc să-mi explic în termeni cât mai simpli, dar s-ar putea să nu fie posibil să mă fac înțeles. În primul rând, vorbim de două lucruri total diferite.

Discuția noastră era că, pentru o curbă (pe care am presupus-o implicit netedă), lungimea se poate calcula aproximând-o cu segmente de dreaptă din ce în ce mai mici. Datorită netezimii ei, nu există nici un loc pe curbă în care dreapta ”să se frângă”. Dacă ai avea un colț, pentru două puncte infinitezimal apropiate, dar separate de colț, linia care le unește ar fi frântă de acesta și ar ieși din curbă. La orice schimbare de direcție netedă însă, nu întâlnești problema, deoarece poți oricând găsi puncte suficient de apropiate astfel încât dreaptă să rămână ”pe curbă”.

Ce spunea curiosul e altceva. Dacă încerci să deformezi un pătrat într-un cerc, aparent procedeul de urmat este cel prezentat de el, dar te lovești de problema colțurilor. Matematic, nu ai cum ”să le netezești”, în trecerea la limită de la perimetrul 4 la circumferința pi te lovești astfel de o discontinuitate insurmontabilă, și presupunerea că la infinit perimetrele celor două sunt egale, este greșită.

Ai dreptate daca vrei sa transformi intr-un cerc dat un patrat ,la infinit, patratul are cateva puncte in plus fata de cercul dat ...(nu marginesc aceeasi arie)

Ideea e că la infinit rămâne o zgribulitură cu o grămadă de colțuri de care nu ai scăpat niciodată. Ei presupun că ele pur și si simplu ”se netezesc” singure, dar nu e așa.

Edit: acum am văzut un mesaj mărunțel strecurat tot de curios. Cam așa e, buba aia (colțul) rămâne acolo oricât de mult te-ai apropia de ea, și nu ai voie să sari peste. Uite, exercițiu simplu de tot pentru voi.

Se dă o funcție care este și . Cât e derivata funcției în x=0?

Vis-a-vis de ce discutăm aici, înseamnă că nivelul infinitezimal îl putem pune sub lupă oricât de mic ar fi.
Ceea ce vom vedea sub lupă vor fi colțuri și discontinuități.
Omul din lună are dreptate.

Exact, foarte bine zis! ”Netezimea” sau ”colțurile” curbei rămân acolo oricât de mult ai apropia lupa de ea. Problema la colț, în analiza matematică, e următoarea: curba în sine e continuă acolo, dar nu e diferențiabilă, căci derivata ei are un salt discontinuu. Vizual, asta înseamnă că tangenta la grafic (asta e derivata de fapt, ca interpretare geometrică) are un salt brusc al orientării la colț. În cazul curbei pătratului, tangenta e paralelă la una din laturi, iar la colț se sucește brusc cu 90 de grade.

Cu genul ăsta de funcții nu se face mare lucru nici în analiza matematică (cel mult le tratezi pe bucăți, între colțurile unde sunt probleme), nici în fizică, unde funcțiile folosite în raționamente sunt întotdeauna funcții ”cuminți”.

omuldinluna a scris: P-asta cu mulțimea numărabilă de unde ai scos-o?

Din străfundurile minţii.

Presupunând că am trăi într-o lume extrem de bizară, elicoidală cum zici tu, pentru calcularea lungimii unui segment de curbă tot la puterea continuumului ai ajunge când ai trece la limită, într-un calcul analitic desigur.

Spui asta pentru că nu te-ai obosit să înţelegi ce spune teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet. Conform acestei teoreme, traiectoriile nu sunt chiar atât de complicate pe cât îţi imaginezi, ci sunt doar elice de un anumit ordin finit.

Dacă ai integra-o numeric, ai avea o mulțime imensă, dar cât se poate de finită de puncte, deoarece un calculator nu poate înțelege nici cel mai simplu infinit, ce să mai vorbim de continuumul din analiză.

E şi normal ca astăzi să aveţi nevoie de o infinitate de puncte pentru a cunoaşte precis o curbă. Dar în viitor lucrurile se vor schimba atunci când veţi înţelege teorema de recurenţă.

În lumea noastră însă, e demonstrat că orice curbă (continuă desigur) e reductibilă la segmente de dreaptă pe intervale infinitezimale, și ăsta-i finalul poveștii.

Până la finalul poveştii mai aveţi de mâncat multe pâini. Ferice de cei care sunt conştienţi de limitele lor.

Iar sărim de la una la alta, de la matematică la fizică. Amesteci lucrurile mult și de aceea iese o varză.

Pentru a cunoaște precis o traiectorie ai mai întâi nevoie de legile de mișcare ale gradelor de libertate ale sistemului tău. Odată obținute, doar elimini timpul între ele și obții traiectoria. Pentru a găsi legile de mișcare, ai nevoie de două lucruri: ecuații de mișcare și condiții inițiale. Condițiile inițiale îți asigură unicitatea soluției, iar toate proprietățile fizice ale traiectoriei rămân conținute în ecuațiile de mișcare, și deci în conceptul de forță. Ar trebui să fie clar deci, că nu ai nevoie de nu știu ce minuni ca să determini proprietățile unei traiectorii, e suficient să cunoști forța care acționează asupra sistemului.

Ce-o tot zăpăcim atâta, hai să luăm cel mai simplu exemplu din lume, să vedem ce pricepem din el.

Într-un sistem cartezian de axe ai o particulă având coordonatele inițiale și vitezele inițiale . Forța care acționează asupra particulei este . Găsește traiectoria.

omuldinluna a scris:Iar sărim de la una la alta, de la matematică la fizică. Amesteci lucrurile mult și de aceea iese o varză.

Eu am avut mereu în minte Fizica, pentru că subiectul topicului sunt traiectoriile, nu curbele de orice fel. Cei care aduceţi în discuţie tot felul de spaţii ca să complicaţi lucrurile sunteţi voi, nu eu.

Pentru a cunoaște precis o traiectorie ai mai întâi nevoie de legile de mișcare ale gradelor de libertate ale sistemului tău. Odată obținute, doar elimini timpul între ele și obții traiectoria. Pentru a găsi legile de mișcare, ai nevoie de două lucruri: ecuații de mișcare și condiții inițiale. Condițiile inițiale îți asigură unicitatea soluției, iar toate proprietățile fizice ale traiectoriei rămân conținute în ecuațiile de mișcare, și deci în conceptul de forță. Ar trebui să fie clar deci, că nu ai nevoie de nu știu ce minuni ca să determini proprietățile unei traiectorii, e suficient să cunoști forța care acționează asupra sistemului.

Asta din ceea ce ştiţi astăzi, fără a aplica teorema de recurenţă. Ia puneţi mâna şi-o aplicaţi şi veţi vedea altfel lucrurile.

Ce-o tot zăpăcim atâta, hai să luăm cel mai simplu exemplu din lume, să vedem ce pricepem din el.

Într-un sistem cartezian de axe ai o particulă având coordonatele inițiale și vitezele inițiale . Forța care acționează asupra particulei este . Găsește traiectoria.

Problema ta este formulată incomplet, pentru că nu spune, de exemplu, ce masă are aceasta. În vid şi cu masă nulă traiectoria este o elice circulară de darbuzian nul (masa fiind proporţională cu darbuzianul).

Toate punctele de pe un cerc (sfera) sunt la o distanta egala de centrul cercului (sferei).
Acest lucru contrazice discontinuitatea chiar la nivel infinitezimal.
Faptul ca analiza matematica nu se aplica "la colturi" e irelevant!
Ma mir ca nu se observa ca modul in care e conceputa matematica (sa gandim liniar , rectiliniu) e chiar problema in discutie.
Pentru ca nu s-a inventat o functie matematica de analiza care sa ne spuna ca distanta dintre doua puncte infinit de apropiate este un arc de cerc.
Asa gandim noi in modul "derivat" rectangular, intr-o lume unde nimic nu este rectangular decat pe hartie.
Un cerc nu are colturi asa cum nici sfera.
Altfel natura "inventa" pepeni patrati (cuburi) sau mere patrate, elefanti patrati etc.
Las deoparte filozofia.
Este posibil ca distanta cea mai scurta dintre doua puncte sa fie o linie curba sau e numai o linie dreapta?
Sa presupunem ca un corp pleaca din pozitia A spre pozitia B.
Vreau sa pun o intrebare, poate clarifica putin subiectul, sau macar il indreapta intr-o anume directie.
Desi distanta dintre A si B este evident masurata pe o linie dreapta , care traiectorie va fi cea mai scurta?( pe care se va deplasa corpul)?
In conditii ideale: vid perfect , viteza constanta , o linie dreapta.
Insa e suficient ca un singur parametru sa fie variabil si traiectoria mea cea mai scurta se va modifica.
Atunci, daca doar pentru un caz particular, cazul ideal, izolat este posibil ca un corp sa aiba o traiectorie perfect rectilinie, de ce sa nu fie acesta un caz particular al traiectoriilor generale?
Urmatorul model geometric pentru traiectorie dupa dreapta este curba , nu-i asa? Apoi elicea circulara, apoi elicea de ordin 2 si asa mai departe!
Vreau sa accentuez un lucru: matematica e de vina!
Ne face sa gandim "patrat". Intr-o lume rotunda!
Va mirati ca nu intelegeti?
Toata viata am vazut in "culori"!
Daca mi s-ar spune ca de fapt culorile sunt doar "umbre" as fi socat!
SI totusi , asta e realitatea!

@Abel

Corectă observație! Puteai să presupui implicit acest lucru, dar să-l specificăm. Astfel, la datele precizate anterior adăugăm faptul că particula are masa constantă, nenulă și pozitivă m!

Nu vreau însă doar un răspuns, ci o rezolvare ceva mai detaliată.

În primul rând, în condiţiile date, traiectoria trebuie să fie independentă de reperul cartezian. Ori, independenţa de reper aduce în prim plan curbura şi torsiunea, singurii parametri caracteristici ai traiectoriei (care, în treacăt fie zis, formează împreună un singur parametru complex, torsiunea complexă). Dacă vă veţi orienta studiul în această direcţie, veţi fi pe "traiectoria" bună.

Ai nevoie și de reper, pentru a putea fixa condițiile inițiale (și pentru încă un detaliu, ceva mai fin; cine îl recunoaște?). Aștept rezolvarea, ai toate datele de care ai nevoie pentru a calcula traiectoria particulei.

Evident, problema este deschisă pentru oricine. Un elev foarte bun știe s-o facă în mod cinstit încă din liceu, asta presupunând că se referă la fizica cunoscută. Dacă veniți cu altfel de fizică, nu am nimic împotrivă, dar furnizați o rezolvare cinstită pentru datele pe care le aveți.

Condiţiile iniţiale sunt aceleaşi pentru toate corpurile din Univers (asta în Fizica elicoidală). Aşa că orice poziţie ulterioară se datorează numai torsiunii complexe.

Ok, o să reformulez în termeni mai aplicativi problema.

Să presupunem că în laborator avem o cutie cubică de latură L și grosime a pereților neglijabilă, făcută dintr-un material minune, care are proprietatea de a izola complet interiorul său perfect vidat de absolut orice influență externă. Printr-un orificiu dintr-un perete, lansăm o particulă de masă m>0 constantă în cutie, printr-un procedeu care nu contaminează vidul, după care închidem orificiul. Cunoaștem astfel (în caz că vom avea nevoie) poziția inițială a particulei, cât și viteza inițială a acesteia.

Dorim să testăm o teorie fizică privitoare la mișcarea particulei. Verificarea se face în felul următor: în momentul în care particula se va ciocni cu oricare din pereții cutiei, un led de pe fața exterioară a peretului ne va indica punctul de impact.

Preziceți poziția acestui punct și timpul la care are loc impactul, considerând că am pornit cronometrul în clipa în care particula a fost introdusă în cutie.

omuldinluna a scris:

Pentru a cunoaște precis o traiectorie ai mai întâi nevoie de legile de mișcare ale gradelor de libertate ale sistemului tău. Odată obținute, doar elimini timpul între ele și obții traiectoria. Pentru a găsi legile de mișcare, ai nevoie de două lucruri: ecuații de mișcare și condiții inițiale. Condițiile inițiale îți asigură unicitatea soluției, iar toate proprietățile fizice ale traiectoriei rămân conținute în ecuațiile de mișcare, și deci în conceptul de forță. Ar trebui să fie clar deci, că nu ai nevoie de nu știu ce minuni ca să determini proprietățile unei traiectorii, e suficient să cunoști forța care acționează asupra sistemului.

Ce-o tot zăpăcim atâta, hai să luăm cel mai simplu exemplu din lume, să vedem ce pricepem din el.

Într-un sistem cartezian de axe ai o particulă având coordonatele inițiale și vitezele inițiale . Forța care acționează asupra particulei este . Găsește traiectoria.

Exemplul tau este gresit !Pentru particula libera chiar daca nu este supusa la legaturi ,tot actioneaza niste forte exterioare
pe cele trei directii ale unui sistem de coordonate spatiale adica ai fortele Fi(Xi,Yi,Zi)
Daca ai la conditiile initiale ,pozitia initiala r ,date de coordonatele Xo,Yo,si Zo, viteza initiala Vo ,data prin proiectiile
Vxo ,Vyo,Vzo atunci :

Nu era un exemplu, ci o problemă propusă spre rezolvare, pe care am și reformulat-o în alți termeni, chiar mai simpli.

În exemplul original, pe care oricum îl abandonez în favoarea acestuia nou, aveai, dacă îți place mai mult așa, pe fiecare dintre cele trei axe de coordonate, cu indicele i notând forțele a căror sumă dădea rezultanta nulă din problema mea. În orice caz, abandonăm asta, și ne ocupăm de problema cu cutia.

Cutia cu pisica vie sau moarta ?  

omuldinluna a scris:Ideea e că la infinit rămâne o zgribulitură cu o grămadă de colțuri de care nu ai scăpat niciodată. Ei presupun că ele pur și si simplu ”se netezesc” singure, dar nu e așa.

Edit: acum am văzut un mesaj mărunțel strecurat tot de curios. Cam așa e, buba aia (colțul) rămâne acolo oricât de mult te-ai apropia de ea, și nu ai voie să sari peste. Uite, exercițiu simplu de tot pentru voi.

Se dă o funcție care este și . Cât e derivata funcției în x=0?

Functia e dicontinua in punctul x=0. Despre derivata in acest punct nici vorba nu poate fi.

Trebuia cred, poate sa alegi alt exemplu mai portivit: f(x)=x^2, x<0; f(x)=sqrt(x),x>=0. Care e derivata in punctul x=0 ?!

Meteor primește jumătate de prăjitură, pentru că într-adevăr a observat foarte bine că funcția aceea este discontinuă în x=0 și deci nu are o derivată clasică acolo, dar totuși ceva există  . Privitor la problema ta, mai verifică odată funcția că la cum ai scris-o e multivalentă în 0 și chiar habar nu am ce să-i fac. Ah, ai editat, ia să vedem dacă reușim să facem ceva.

Ți-ai ales tare prost momentul ca să intri în discuție, că voiam să văd ce zice lumea la problema cu cutia  .

Pina la urma dreapta si orice mizghileala e construita din o infinitate de puncte.
Infinitul nu e clar ce e.

Punctul este elementul fundamental in geometri, si tot ce e in acest sens.

INSA, punctul este o MARE nedefinitie.

"La un patrat cu aria A alaturi [latura acestui patrat vecina cu latura patratului celalalt] se alipeste un patrat cu aria B. Cit va fi aria?!
LA un patrat cu aria A pe o latura de a sa se alatura un patrat cu latura B. Cit va fi aria egala a noii figuri ?! "

 

omuldinluna a scris:
Ok, o să reformulez în termeni mai aplicativi problema.
Să presupunem .........

Problema mea este alta...de unde ai atata rabdare si tu si Razvan si multi altii de pe acest forum incat incercati sa raspundeti diplomat si motivat la aceasta mare "realizare" a mileniului III ?
Pute de la o posta a prostie pura sub forma continuata,plina de luxoni, prostoni, principii peste principii etc etc.

Pui pariu cu mine ca nu o sa primesti un raspuns coerent nici in 2029?
Maxim niste SF-uri din "puturile gandirii" si alea incoerente intre ele.Va invidiez pentru rabdarea si simtul diplomatic de care dati dovada.

Stai să le luăm pe rând, dacă tot ne-am apucat de discuții.

Deci prima problemă de matematică, născută în urma discuției a fost aceasta (renunț la diacritice pentru comoditate):

1.Sa se determine derivata in x=0 pentru functia



Dupa care problema lui meteor:

2. Sa se determine derivata in x=0 pentru functia



Incep cu problema 2, deoarece are un rezultat mai simplu. Daca-mi aduc bine aminte, din scoala, functia este continua in origine, deoarece limitele ei laterale (fie ca vin de la stanga, fie ca vin de la dreapta lui 0) sunt egale cu 0. Derivata clasica nu exista insa, deoarece avem



si atunci derivata la stanga este 0, pe cand cea la dreapta este infinit. In particular, in aceasta problema nu exista nici derivata in sens generalizat, deoarece functia este continua in 0.

Revin acum la problema 1. Acolo functia este clar discontinua, deoarece limitele laterale sunt 0, respectiv 1, deci nici macar nu putem visa la o derivata clasica, in schimb, exista o derivata in sens generalizat, ce este asa numita distributie Dirac, notata cu , unde in cazul nostru punctul . Nu vreau sa intru acum in detalii legat de aceasta, dar eram curios sa vad cine observa ca derivata clasica nu exista (bravo meteor!). Despre derivate generalizate poate vorbim cu alta ocazie, ca acum avem lucruri mai simple de rezolvat.

@Mezei

Ce sa-ti zic, sunt oameni si oameni.

Mezei,

Nu ti se pare ca esti prea radical ?
In plus Abel are dreptate in anumite privinte :
Numai d.p.d.v. al traiectorilor.Fizica elicoidala poate fi o fizica la nivelul
traiectoriilor ,dar nu l-a mai mult, tot din punctul meu de vedere.

In ceea ce priveste acuzele care i le aduci lui Abel sunt grave , si consider
ca ai intrecut masura ,la acest moment.
Poti sa-ti formulezi si altfel parerile si conceptiile ,chiar daca ai sprijin
la unii dintre noi....
(In plus Abel mi se pare o persoana inteligenta si de bun simt ,
chiar daca aluneca pe o panta elicoidala uneori...   )

Tocmai deaceea CAdi si am revenit in momentul de fata, sa zic lui Mezei ca prea se tine cu capul in nouri, plus ca aici suntem mai multi utilizatori, si putem sa ii tragem o batae,  .

Inafara de aceasta, el uita cine primul , cind, si cu ce intentii a creat acest forum.
Cine permament incurajeaza si sustine pe oricine sa isi desfasureze/publice cercetarile/rezultatele.
Incurajeaza cu o asa dorinta, ca cert este ca el (Mezei) nici negrul sub unghii nu era sa faca.

Privitor la elicoide, Abel trebue sa dea raspuns la problemile ce i se ridica, altfel cred ca vrea cu orice pret sa arate el adevarat.
Sau sa incerce sa mediteze, astfel incit sa se poata face mai bine inteles.

Despre elicoide, parerea mea e ca este ceva cu ele, ce ?! Idee nu am.
Formula lui Euler, dupa parerea mea, e fundamentala in stiinta{problema mileniilor} [a venit altul cu teoriile lui  ].
Ea descrie un fel de elice.

Dar, cine stie ce mai poate fi mai departe cu cellelalte multimi de numere..