Conjectura lui Andrica

Scris de **curiosul** Joi 21 Iul 2011, 15:11

Rezumarea primului mesaj :

...

Scris de **totedati** Mar 13 Noi 2012, 20:00

pun și purcelușul! cu cardiogramele complete de la k=1 la k=5

Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Test_nrprime_002

docs.google.com - serii_conjectura_lui_andrica

numai așa merge imaginea full că a obosit netul cînd am încercat să îi bag pe gît ditamai poza!

Scris de **Dacu** Mar 13 Noi 2012, 23:24

Se spune că prin anul 2000 s-a verificat ca fiind adevărată conjectura lui Andrica cu ajutorul calculatorului pentru toate numerele prime mai mici ca numărul $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ .Intuiţia mea îmi spune că trebuie să existe totuşi multe perechi de numere prime consecutive care nu respectă conjectura lui Andrica deoarece este ştiut faptul că din conjectura lui Bertrand $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ rezultă că $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ ceea ce înseamnă că cel mult poate exista între anumite numere prime relaţia $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ şi în acest caz dacă este adevărată concluzia mea şi anume "Dacă $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ este al $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ -lea număr prim pozitiv, atunci $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ pentru orice $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ ." atunci rezultă că există numere prime consecutive pentru care de fapt este adevărat că $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ pentru anumite valori ale lui $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ ceea ce invalidează conjectura lui Andrica adică această conjectură nu este valabilă pentru toate perechile de numere prime consecutive existente.
Care este cea mai mare diferenţă de două numere prime consecutive cunoscută până azi?Pot exista două numere prime consecutive astfel încat diferenţa lor şi anume $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ să fie suficient de mare astfel încât $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ ?Greşesc eu cumva raţionamentul?Mulţumesc!

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 01:50

păi din seriile calculate la repezeală de mine, pentru n=[1;300] și k=[1;5] nici nu e adevărată în sens absolut, adică ∀(n,k)∈ℕ* ⋀ pₙ∈ℙ ⤇ a=p₍ₙ₊ₖ₎ ⋀ b=pₙ, pentru k>1!

contraexemplele apar chiar la început și cu cît crește k cu atît sunt mai multe într-un fel de creștere exponențială la capul de serie!

dar tot la fel de repede, pentru fiecare k, șirul începe să se stabilizeze în intervalul [k,k-1] și cu cît n e mai mare parcă șirul tinde asimptotic spre k!

dar nu depășește k! cum spui și tu posibil și pentru k>1 pînă la valori enorme pentru n+k!

variațiile în valoare absolută între termenii consecutivi ai unei serii devin tot mai mici, se atenuează, nu cresc! și asta duce la aparența de limită asimptotică clasică, ca un fel de logaritm cu creștere monotonă, leeentă, dar bine delimitată!

e foarte interesantă cardiograma aia! felul în care se comportă ca o limită asimptotică! cum seriile numerice pentru fiecare k urmăresc seriile anterioare, fiecare variație, fiecare vălurile, deal și vale, depresiune și urcuș, dar nu perfect identic!

că dacă ar fi variație identică ar fi trebuit să se încadreze în în intervalul [k,k-1] urmărind fidel variațiile pentru seria k=1 toate celelalte serii cu k>1!

deci acolo avem de fapt o frecvență ascunsă într-o altă frecvență mai mare!

dacă mă iau băbește după cardiogramele alea aș putea emite empiric ipoteza că mediile aritmetice chiar devin liniile k pentru n→∞!

e suficient să le privești de la o distanță mai mare și deja, de la n=300 par cît se poate de drepte! exact k!

LE:
evident n-a durat mult și am coafat cazurile excepționale!
upgradarea cu și mai mult talent a conjecturii ar putea fi
∀(n,k)∈ℕ* ⋀ (pₙ,p₍ₙ₊ₖ₎)∈ℙ ⤇ 1 > ⁽ᵏ⁺¹⁾√p₍ₙ₎ - ⁽ᵏ⁺¹⁾√p₍ₙ₊ₖ₎ + 1 > 0

adică pentru p₍ₙ₊₁₎ e sqrt(2), p₍ₙ₊₂₎ e sqrt(3), p₍ₙ₊₃₎ e sqrt(4), p₍ₙ₊ₖ₎ e sqrt(k+1) și se încadrează iar strict în interval

sau, altfel spus:
∀(n,k)∈ℕ* ⋀ (pₙ,p₍ₙ₊ₖ₎)∈ℙ ⤇ $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Gif$

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 10:43

de fapt dacă stau strîmb și mă scobesc un pic în nas îmi dau seama că n-am făcut altceva decît să descopăr că apa e udă:

dacă $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Gif$ e adevărat atunci $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Gif$ e cu atît mai mult adevărat!

$Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Gif$ cînd m→∞ devine tot mai adevărat pentru că se transformă într-un banal 0 + m > 0

deci conjectura andrica generalizată e
∀(m,n,k)∈ℕ* ⋀ (pₙ,p₍ₙ₊ₖ₎)∈ℙ ⤇ $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Gif$

cu cît m crește cu atît e mai evident dpdv empiric că ar trebui să fie adevărată!

pentru k=0 și m=1 avem $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Gif$ prin definiție adevărat!

pare un start bun!

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 10:58

adică e de demonstrat faptul că din $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Gif$ m crește tot timpul mai repede ca diferența dintre două numere m-consecutive băgate sub radical!

pentru m mare pare mai simplu ... pentru m mic, m=1 pare limita minimă de la care dacă coborîm mai jos nu mai e valabilă conjectura:

$Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Gif$ fals

Scris de **curiosul** Mier 14 Noi 2012, 11:09

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 12:15

păi parcă și prima e greșită!

e
$\sqrt{P_{n+1}}-\sqrt{P_{n}}<1$

nu
$\sqrt{P_{n+1}}-\sqrt{P_{n}}> 1$ !

nu îți înțeleg raționamentul

din a<1 și b>1 ce vrei să obții cu a>b>1!? o reducere la absurd, să scoți varianta inversă ca adevărată!?

nu înteleg ...

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 12:32

dacă mă iau după graficele funcției $\sqrt[k+1]{P_{n+k}}-\sqrt[k+1]{P_{n}} + 1$

cu cît k crește cu atît funcția anvelopează, e deasupra, celor cu k mai mic dar tot timpul sub 1!

în rare cazuri, la început, un k mai mic sare peste unul mai mare ca și cum ar fi inversul cardiogramei initiale, cînd tot la început în loc de intervalul [k,k-1] mai apăreau situații în care intervalul de variație era [k,k-2]

nu văd de ce dacă m crește peste 1 nu s-ar păstra trendul! atenuarea variațiilor ar trebui să fie și mai rapidă pînă la cazul maxim posibil 0 + (m→∞) > 0 care e un fel de apă udă

Scris de **Dacu** Mier 14 Noi 2012, 12:41

curiosul a scris:Plec de la relatia pe care ai scris-o tu :

$\sqrt{P_{n+1}}-\sqrt{P_{n}}> \frac{P_{n+1}-P_{n}}{2\cdot \sqrt{2\cdot P_{n+1}-P_{n}}}> 1$

A doua inegalitate este gresita :

$\frac{P_{n+1}-P_{n}}{2\cdot \sqrt{2\cdot P_{n+1}-P_{n}}}> 1$

$P_{n+1}-P_{n}>{2\sqrt{2P_{n+1}-P_{n}}}$

iar ridicand totul la patrat se obtine:

$(P_{n+1}-P_{n})^{2} > 4\cdot (2\cdot P_{n+1}-P_{n})$

$(P_{n+1}-P_{n})^{2} > 8 P_{n+1}-4P_{n}$

$(P_{n+1}-P_{n})^{2} > 4 P_{n+1}+4(P_{n+1}-P_{n})$

$(P_{n+1}-P_{n})^{2}-4(P_{n+1}-P_{n}) > 4 P_{n+1}$

$(P_{n+1}-P_{n})(P_{n+1}-P_{n}-4) > 4 P_{n+1}$

Putem scrie $4 P_{n+1}$

ca fiind $4 (P_{n+1}-P_{n})+4P{n}$ ,

iar inlocuind obtinem
$(P_{n+1}-P_{n})(P_{n+1}-P_{n}-4)> 4 (P_{n+1}-P_{n})+4P{n}$

si simplificand prin
$(P_{n+1}-P_{n})$

obtinem :
$P_{n+1}-P_{n}-4> 4+\frac{4P_{n}}{P_{n+1}-P_{n}}$

adica
$P_{n+1}-P_{n}> 8+\frac{4P_{n}}{P_{n+1}-P_{n}}$

Prin postulatul lui Bertrand
$P_{n}>P_{n+1}-P_{n}$

ceea ce inseamna ca
$\frac{4P_{n}}{P_{n+1}-P_{n}}> \frac{4P_{n}}{P_{n}}$

deci si
$8+\frac{4P_{n}}{P_{n+1}-P_{n}}>8+ \frac{4P_{n}}{P_{n}}$

$8+\frac{4P_{n}}{P_{n+1}-P_{n}}>8+ 3P_{n}$

de unde rezulta ca
$8+\frac{4P_{n}}{P_{n+1}-P_{n}}>8+ 3P_{n}>P_{n}>P_{n+1}-P_{n}$

deci si
$8+\frac{4P_{n}}{P_{n+1}-P_{n}}>P_{n+1}-P_{n}$

ceea ce inseamna ca
$2\sqrt{2P_{n+1}-P_{n}}>P_{n+1}-P_{n}$ ,

precum si
$1>\frac{P_{n+1}-P_{n}}{2\sqrt{2P_{n+1}-P_{n}}}$

Eu as spune chiar ca limitele sunt :

$1> \sqrt{P_{n+1}}-\sqrt{P_{n}}>\frac{P_{n+1}-P_{n}}{2\sqrt{2P_{n+1}-P_{n}}}$

Fără supărare,dar este greşit raţionamentul şi eu zic că este foarte posibil ca acea a doua inegalitate să fie adevărată dacă se raţionează în mod corect.Rog a se reciti cu atenţie ultima mea postare cu acea dublă inegalitate.
Eu zic că este foarte posibil să existe perechi de numere prime consecutive astfel încât $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ dacă $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ este suficient de mare şi tocmai de aceea am pus întrebarea "Cât de mare poate fi $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ ?" ştiind că din conjectura lui Bertrand $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ rezultă că $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ .Este posibil să existe perechi de numere prime consecutive astfel încât $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ ?Faptul că până azi nu s-au găsit încă vreo pereche de numere prime consecutive astfel încât $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ asta nu înseamnă că nu ar putea exista această pereche de numere prime consecutive.Cum se rezolvă inegalitatea $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ şi cum se rezolvă inegalitatea $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ ?Rog mult de tot a se reciti cu atenţie toate postările mele.Muţumesc!

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 12:49

dacă p₍ₙ₊₁₎ - pₙ e suficient de mare p₍ₙ₊₂₎ - pₙ ar fi și mai mare! și dacă mărim distanța dintre numerele prime de la 1-consecutive la m-consecutive ajungem la concluzia inversă, că ar fi adevărată conjectura!

adică la 0 + (m→∞) > 0

Scris de **Dacu** Mier 14 Noi 2012, 13:01

totedati a scris:dacă p₍ₙ₊₁₎ - pₙ e suficient de mare p₍ₙ₊₂₎ - pₙ ar fi și mai mare! și dacă mărim distanța dintre numerele prime de la 1-consecutive la m-consecutive ajungem la concluzia inversă, că ar fi adevărată conjectura!

Fără supărare,dar de ce nu se scrie cu latex?Conjectura lui Andrica se referă doar la perechi de numere prime consecutive şi îmi pare rău dar nu înteleg ce vrea să se spună prin raţionamentul de mărire a acelei aşa zise distanţe dintre două numere prime.Dacă se face referire la numărul prim $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ atunci acest număr trebuie luat în considerare doar cu numărul prim $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ şi nu cu numărul $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ asta dacă ne referim la conjectura lui Andrica.Mulţumesc!

Scris de **curiosul** Mier 14 Noi 2012, 13:03

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 13:15

această anvelopare aș putea să o traduc ca

$\sqrt[k+m]{P_{n+k}}-\sqrt[k+m]{P_{n}} + m + 1 > \sqrt[k-1+m]{P_{n+k-1}}-\sqrt[k-1+m]{P_{n}} + m$

deci

$\sqrt[k+m]{P_{n+k}}-\sqrt[k+m]{P_{n}} + 1 > \sqrt[k-1+m]{P_{n+k-1}}-\sqrt[k-1+m]{P_{n}}$

adică

$\sqrt[k+m]{P_{n+k}} + \sqrt[k-1+m]{P_{n}} + 1 > \sqrt[k-1+m]{P_{n+k-1}} + \sqrt[k+m]{P_{n}}$

hmmmm ... încă o tură de grafice!

curiosul a scris:Pai nu, totedati, ca este exact ceea ce trebuie demonstrat prin conjectura lui Andrica : $\sqrt{P_{n+1}}-\sqrt{P_{n}}<1$ .
Numai ca eu am scris relatia invers, cu 1 in fata mai mare ca diferenta radicalilor si este acelasi lucru.

curiosul a scris:Plec de la relatia pe care ai scris-o tu :

$\sqrt{P_{n+1}}-\sqrt{P_{n}}> \frac{P_{n+1}-P_{n}}{2\cdot \sqrt{2\cdot P_{n+1}-P_{n}}}> 1$

A doua inegalitate este gresita

mie mi se pare că ambele sunt greșite!

din a>b>c și a>c și b>c sunt greșite!

sau am înțeles eu exact pe dos conjectura!? conjectura nu spune că NU trece peste 1!? spune că trece peste 1!?

Scris de **curiosul** Mier 14 Noi 2012, 13:22

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 13:24

LOL!

ai uitat să permutezi radicalii!
adică din a-b<1 ⤇ b-a>1

Razz

păi ce știm e că

Dacu a scris:Trei inegalităţi privind numerele prime consecutive:
1) Dacă $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ este al $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ -lea număr prim pozitiv, atunci $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ pentru orice $Conjectura lui Andrica - Pagina 3 Mimetex$ .

adică a>b

dar cum ai sărit la a>b>c e treaba ta, nu mă bag

că relația lui dacu nu spune că b>c! ci strict a>b!

Scris de **curiosul** Mier 14 Noi 2012, 13:27

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 13:31

eu cred că ai obosit!
ia o pauză, o ceașcă de cafea și revin-o!
și mai uită-te pe ecuații după ce te-ai mai odihnit ...

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 13:48

din $\sqrt[k+m]{P_{n+k}} + \sqrt[k-1+m]{P_{n}} + 1 > \sqrt[k-1+m]{P_{n+k-1}} + \sqrt[k+m]{P_{n}}$

cu k+m=g avem

$\sqrt[g]{P_{n+k}} + \sqrt[g-1]{P_{n}} + 1 > \sqrt[g-1]{P_{n+k-1}} + \sqrt[g]{P_{n}}$

hmmm ... interesant!

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 13:57

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 13:59

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 14:00

Scris de **curiosul** Mier 14 Noi 2012, 14:03

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 14:05

și atunci din $\frac{ 1}{\sqrt[g-1]{P_{n+k-1}} + \sqrt[g]{P_{n}}} < 1$

rezultă că

$\frac{\sqrt[g]{P_{n+k}} + \sqrt[g-1]{P_{n}}}{\sqrt[g-1]{P_{n+k-1}} + \sqrt[g]{P_{n}}} > 1$

hmmm ... nu sunt sigur dacă nu cumva și relația asta e deja descoperită sau tot sub formă de conjectură pe undeva ...

sunt sute de direcții de atac în direcția numerelor prime! zeci de conjecturi, inegalități, relații șamd ...

Scris de **curiosul** Mier 14 Noi 2012, 14:08

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 14:09

curiosul a scris:Eu asta am aratat !
Nu este corect ?
Inseamna ca incep sa am o problema.

eu n-am mai stat să analizez ce ai vrut să demonstrezi! ți-am arătat că din a-b>1 nu rezultă a-b<1 ci b-a<1

după care am mușcat cu poftă!

ham ham!

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 14:11

curiosul a scris:si de aceea am spus ca relatia corecta ar fi
$1>\sqrt{P_{n+1}}-\sqrt{P_{n}}>\frac{P_{n+1}-P_{n}}{2\sqrt{2P_{n+1}-P_{n}}}$

$1>\sqrt{P_{n+1}}-\sqrt{P_{n}}>\frac{P_{n+1}-P_{n}}{2\sqrt{2P_{n+1}-P_{n}}}$

nu e

$\sqrt{P_{n+1}}-\sqrt{P_{n}}>\frac{P_{n+1}-P_{n}}{2\sqrt{2P_{n+1}-P_{n}}} > 1$

ai spus exact pe dos de ce ai vrut să spui!
ai uitat să permutezi termenii sau să schimbi semnul inegalității!
poți verifica și singur mesajele!

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 14:13

eu deaia tot spun că mi-e frică de inegalități! și prefer egalitățile în ecuații!

noi ca noi că mai greșim da' să îi vezi pe profi la tablă cum se fac de cacao!

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 14:17

și atunci să fie oare permisă forțarea și simplificarea k=1?

$\frac{\sqrt[g]{P_{n+1}} + \sqrt[g-1]{P_{n}}}{\sqrt[g-1]{P_{n}} + \sqrt[g]{P_{n}}} > 1$

hmmmm ....

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 14:24

este! pentru g=2 avem

$\frac{\sqrt[2]{P_{n+1}} + \sqrt[1]{P_{n}}}{\sqrt[1]{P_{n}} + \sqrt[2]{P_{n}}} > 1$

$\frac{\sqrt{P_{n+1}} + {P_{n}}}{P_{n} + \sqrt{P_{n}}} > 1$

$\sqrt{P_{n+1}} + {P_{n}} > {P_{n} + \sqrt{P_{n}}}$

$\sqrt{P_{n+1}} > \sqrt{P_{n}}$

deci am revenit pe pămîntul ferm al certitudinilor

Scris de **curiosul** Mier 14 Noi 2012, 14:27

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 14:32

așa e
le sucesc de le amețesc!

dar intenția e de a găsi un fir pe care după ce ajung la banalitatea $\sqrt{P_{n+1}} > \sqrt{P_{n}}$ să îl parcurg invers, ca în romanele polițiste spre sursa problemei dar de data asta în siguranță, cu arma în mînă și lanterna aprinsă!

Scris de **totedati** Mier 14 Noi 2012, 15:55

din k+m=g și $\sqrt[g]{P_{n+k}} + \sqrt[g-1]{P_{n}} + 1 > \sqrt[g-1]{P_{n+k-1}} + \sqrt[g]{P_{n}}$

pentru k=g-m avem

$\sqrt[g]{P_{n+g-m}} + \sqrt[g-1]{P_{n}} + 1 > \sqrt[g-1]{P_{n+g-m-1}} + \sqrt[g]{P_{n}}$

pt. n+g-m=e avem

$\sqrt[g]{P_{e}} + \sqrt[g-1]{P_{n}} + 1 > \sqrt[g-1]{P_{e-1}} + \sqrt[g]{P_{n}}$

iar din g=e=n=a avem

$\sqrt[a]{P_{a}} + \sqrt[a-1]{P_{a}} + 1 > \sqrt[a-1]{P_{a-1}} + \sqrt[a]{P_{a}}$

adică

$\sqrt[a-1]{P_{a}} + 1 > \sqrt[a-1]{P_{a-1}}$

pt. a-1=k rezultă

$\sqrt[k]{P_{k+1}} + 1 > \sqrt[k]{P_{k}}$

dar deja știm că $\sqrt[k]{P_{k+1}} > \sqrt[k]{P_{k}}$

deci ... se pare că avem două variate de a ajunge de la $\sqrt[k]{P_{k+1}} > \sqrt[k]{P_{k}}$ la $\sqrt[k]{P_{k}} + 1 > \sqrt[k]{P_{k+1}}$

lol!

Scris de Continut sponsorizat

Conjectura lui Andrica

Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica

Re: Conjectura lui Andrica