Calculul integralelor

- E bine sa se elaboreze o metoda generala de calcul a integralelor, sa fie un algoritm, dupa care orice pusti sa il poata parcurge astfel rezolvind orice fel de integrala.

In primul rind, eu am ramas in epoca de piatra.. Nu studiez alte tipuri de integrale afara de cele cu o singura variabile, si alte ciudatenii de functii. Am aici prea multe incepute si mai nimic finisat.
Dar, cred caci deaici porneste totul. Daca am putea pe acestea sa le minuim bine, presupun ca vom putea si pe celelalte.
Is deacord, caci cam e sub semnul intrebarii, ca sa se gaseasca o metoda grozava care sa poata rezolva integralele din orice categorii.
Eu, nu prea convins 100%, dar voi arata ceva mai tirziu care e jmecheria cu care es la tirg. E foarte simplu si e mai mult sub forma de ipoteza.

Exsista insa o alta problema mai ca aceasta.. cu calculul unor integrale..

Iata care e toata pacaleala:
.
Ai functia . Determini daca e derivabila.
[Se stie bine ca derivarea a foarte multor functii nu este o problema, acest avantaj se considera ca fiind prima chee]
Ii gasesti prima derivata. Apoi a doua derivata, etc. derivata de ordinul n.
Urmaresti faptul cum functia cu derivata inferioara se modifica la derivata superioara. Observind acesta evolutie , si fiind prof in toate astea, cred ca se poate de mers inapoi.. adica sa ajungem sa aflam care este integrala cutarei functii.
Fiind mai capos, cred ca s-ar putea gasi integrala de ordinul n, din o singura lovitura, aceasta deja este ceva, insa .. pina atunci presupun ca mai este..
Spre exemplu se stie derivatele de ordinul n din o multime de functii elementare si compuse.
Mai avem (usor se deduce) formula lui Leibniz de calcul a derivatelor de orinul n din o functie care este egala cu produsul a doua functii:

La fel se pot elabora formule pentru cazurile cind functia reprezinta impartierea dintre 2 functii, o functie ridicata la puterea altei functii, etc. [de remarcat, ca aproape in toate cazurile apare factorialul, fie sub forma de combinari, fie sub alte forme]
Stiind toate acestea, posibil sa se usureze calculul integralei

Deci sa incerc a dezvolta incetul ideea (va trebui sa scriu mesaje multe, ca din cauze timpului scirt de editare nu pot sa scriu pe bucatele).

[Vorbesc de integrale in real cu o singura variabila, despre functii dea alea normale, nu de alea cine stie cu ce nazbitii, iesite din domeniul de definitie a teoriei (asa exemplu poate e functile Akerman)]

Stim ca daca o functie e derivabila, atunci ea admite si integrala.
Derivata functiei se stie azi, in mare parte, cum se face, deci i se poate gasi si derivata de un ordin oarecare n .
Derivata integralei (primitivei) trebue sa ne  dea insusi functia care e integrata.

Vom numi derivata de ordenul 0 insusi functia care o avem in fata, initiala .
La fel:
sunt anumite constante...

Ca sa nu ne ducem la integrale de orden superior, unde posibil sa ne manince curcile, mai bine raminem la indegrala de ordenul 1, sau derivata de odenul -1.

Ideea deci asa ramine: Stiind derivata de ordenul n, inlocuind -1 in expresie vom determina integrala.

De remarcat ca mergind mai departe, de ce sa nu fie si derivate fractionare (neintregi) ?! Nu stiu daca are vreun sens, si daca are sens unde anume se aplica.

Sa luam sa analizam chite un exemplu de functii.





(Dupa prima deriva vedem ca avem produsul a doua functii, deci derivata de ordenul n-1 o vom afla prin metoda de mai sus)

[vedem ca in foarte multe cazuri apare factorialul, si mai vedem  ca per derivate neintregi cu functia gama poate va merge lucrurile, insa per valori negative nu pre, mai ramine de studiat]