Marea teorema a lui Fermat.

Rezumarea primului mesaj :

Teorema: Ecuația nu are soluții dacă n>2 este număr natural, iar x,y,z sunt numere naturale nenule.

Aici, propun, sa se prezinte (cit mai multe) demonstratii posibile a acestei teoreme (inclusiv si pentru cazuri particulare).

N-ai zis rău ce ai zis, dar nu trebuie neapărat rezolvat vreun sistem de ecuații.
S-ar putea să fie nevoie de implicarea exprimării unui cosinus, dar ideea în sine este că dacă x, y, z sunt întregi, iar p^2 rațional, în exprimarea lui p^2 sub formă de fracție ireductibila a/b , a, b, ar trebui să fie pătrate perfecte.
Trebuie arătat că rădăcina pătrată a lui p este un număr rațional, nu irațional.
Revin.

Dacu a scris:Cert este că dacă x mai mic ca y mai mic ca z sunt numere naturale nenule atunci în mod sigur AD este un număr rațional mai mare ca zero.

Dacă îmi demonstrezi asta, eu demonstrez restul.
Dar AD, nu AD^2.
Dacă x, y, z sunt întregi.
Dacă AD este rațional, sub formă de fracție ireductibila a/b, atunci AD^2 trebuie obligatoriu să fie cu numărătorul și numitorul pătrate perfecte.

curiosul a scris:

Dacu a scris:Cert este că dacă x mai mic ca y mai mic ca z sunt numere naturale nenule atunci în mod sigur AD este un număr rațional mai mare ca zero.

Dacă îmi demonstrezi asta, eu demonstrez restul.
Dar AD, nu AD^2.
Dacă  x, y, z sunt întregi.
Dacă AD este rațional, sub formă de fracție ireductibila a/b, atunci AD^2 trebuie obligatoriu să fie cu numărătorul și numitorul pătrate perfecte.

Deoarece tu ai considerat altă relație de ordine între laturile trunghiului și o altă poziție a punctului situat în interiorul laturii , atunci te rog să fii de-acord cu propunerile mele de mai jos.
Pentru a analiza coerent propunerea ta privind cazul că este un număr natural prim ținând cont de Teorema lui Stewart în triunghiul unde , atunci trebuie să stabilim următoarele:
1) - Relația de ordine între numerele naturale este .
2) - Există următoarele relații .
3) - Punctul este situat în interiorul laturii unde
Dacă ești de-acord, atunci îți voi explica de ce am considerat că este reprezentat de un număr natural.

Dacu a scris:
2) - Există următoarele relații .
.

Relatia asta a ta nu este buna. Nu verifica teorema lui Fermat . Ti-am demonstrat ca relatia mea este buna.

Dacu a scris:

curiosul a scris:

Dacu a scris:Cert este că dacă x mai mic ca y mai mic ca z sunt numere naturale nenule atunci în mod sigur AD este un număr rațional mai mare ca zero.

Dacă îmi demonstrezi asta, eu demonstrez restul.
Dar AD, nu AD^2.
Dacă  x, y, z sunt întregi.
Dacă AD este rațional, sub formă de fracție ireductibila a/b, atunci AD^2 trebuie obligatoriu să fie cu numărătorul și numitorul pătrate perfecte.

Deoarece tu ai considerat altă relație de ordine între laturile trunghiului și o altă poziție a punctului situat în interiorul laturii , atunci te rog să fii de-acord cu propunerile mele de mai jos.
Pentru a analiza coerent propunerea ta privind cazul că este un număr natural prim ținând cont de Teorema lui Stewart în triunghiul unde , atunci trebuie să stabilim următoarele:
1) - Relația de ordine între numerele naturale este .
2) - Există următoarele relații .
3) - Punctul este situat în interiorul laturii unde
Dacă ești de-acord, atunci îți voi explica de ce am considerat că este reprezentat de un număr natural.

De acord, Dacu.
De altfel din inegalitățile respective este suficient de arătat doar prima, x>n, restul rezultă din z>y>x.
Deci, de acord, continuă te rog.

Ca să implicăm și x, y, z ca soluții ale ecuației, eu mă gândeam azi, printre timp, să împărțim latura z în x^n/z^(n-1) și y^n/z^(n-1) aplicând relația lui Stewart, dar nu dă rezultate directe.

CAdi a scris:

Dacu a scris:
2) - Există următoarele relații .
.

Relatia asta a ta nu este buna. Nu verifica teorema lui Fermat . Ti-am demonstrat ca relatia mea este buna.

Retrag ce am scris mai sus, si imi cer scuze , si relatiile lui Dacu  verifica teorema lui Fermat. Este varianta pentru n= par

Stai liniștit, CAdi, nu-i bai, se mai întâmplă când scriem la repezeală.
Dacu, mă îndoiesc totuși că se poate demonstra că AD este măcar rațional, nu natural.
Până una-alta, am mai încercat eu niște mici interpretări.
Vezi poate îți dă vreo idee.

Fii atent la o relație interesantă.
Dacă am calculat bine.
Îl extragi pe (p_y)^2 din prima și ar trebui să ajungi la ceva de genul:


După care îl extragi pe (p_x)^2 dintr-a doua relație și ar trebui să ajungi la ceva de genul:



Faci suma lor, o înlocuiești în relația menționată anterior și ar trebuie să ajungi la o relație de genul:



De unde ar rezulta că
y^(n+2)+x^(n+2)- 2x^ny^n trebuie să fie divizibil cu z^2.
Și nu poate fi.

Dar asta doar dacă am calculat corect că n-am verificat.

Dar sigur e greșit ceva pe undeva, nici nu stau să verific, pentru că nu este departajat n de valoarea lui pentru 2 și ar însemna că trebuie să fie adevărat și pentru n=2 și nu este.
Dar oricum, tu poți să prezinți concluzia ta referitoare la AD rațional.

N-am verificat, dar dacă în concluzia de mai sus ar fi greșit doar semnul lui 2x^ny^n , se poate arăta că
y^(n+2)+x^(n+2)+2x^ny^n este  divizibil cu z^2, doar dacă n=2.
Dar mă îndoiesc că aici este greșeala.

M-am gandit si la o alta abordare a teoremei lui Fermat, dupa cea descrisa cu Binomul lui Newton.

Graficul functiei x^n+y^n este o functie pe care o putem scrie in 2 variante (a mea si a lui Dacu):
f(x)= x^n+(x+1)^n
sau
f(x) =(x+1)^n+ (x+2) ^n
la fel si graficul functiei z^n :
f(x) =(X+2)^n
sau
f(x)= (X+3)^n

Se stie ca functiile cu putere mai mare decat 3 deci n>3 au radacinile ecuatiilor la intersectia cu axele  Ox si Oy in multimea numerelor reale si complexe.
Cum graficele celor 2 functii sunt total diferite ,  ma indoiesc ca vreuna din radacini dintr-o parte si din cealalta sa coincida vreodata in acelasi timp si sa fie si numar natural

Deocamdată, CAdi, nu știu ce să zic, eu încerc o abordare cât mai elementară, bazată pe factorizare, atât timp cât x, y, z unt naturale.
Mai am o idee interesantă și o să o expun diseară.

curiosul a scris:

Dacu a scris:

curiosul a scris:
Dacă îmi demonstrezi asta, eu demonstrez restul.
Dar AD, nu AD^2.
Dacă  x, y, z sunt întregi.
Dacă AD este rațional, sub formă de fracție ireductibila a/b, atunci AD^2 trebuie obligatoriu să fie cu numărătorul și numitorul pătrate perfecte.

Deoarece tu ai considerat altă relație de ordine între laturile trunghiului și o altă poziție a punctului situat în interiorul laturii , atunci te rog să fii de-acord cu propunerile mele de mai jos.
Pentru a analiza coerent propunerea ta privind cazul că este un număr natural prim ținând cont de Teorema lui Stewart în triunghiul unde , atunci trebuie să stabilim următoarele:
1) - Relația de ordine între numerele naturale este .
2) - Există următoarele relații .
3) - Punctul este situat în interiorul laturii unde
Dacă ești de-acord, atunci îți voi explica de ce am considerat că este reprezentat de un număr natural.

De acord, Dacu.
De altfel din inegalitățile respective este suficient de arătat doar prima, x>n, restul rezultă din z>y>x.
Deci, de acord, continuă te rog.

Este irelevant să analizăm ecuația rezultată din Teorema lui Stewart fără a ține cont și de ecuația și în acest sens trebuie să găsim o ecuație echivalentă cu acel sistem de ecuații propus de tine.Cum găsim această ecuație echivalentă care să nu conțină necunoscuta ?
Să ne aducem aminte că din demonstrația mea din sistemul de ecuații rezultă ecuația echivalentă care este valabilă chiar și pentru dar și pentru .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Fie , atunci din teorema lui Stewart rezultă și dacă vrem ca această ecuație
să aibă cel puțin o soluție   atunci trebuie să vedem ce cazuri posibile sunt pentru numărul și implicit pentru numărul .Ce fel de număr irațional ar putea fi numărul astfel încât numărul să fie un număr rațional?

Dacu a scris:Este irelevant să analizăm ecuația rezultată din Teorema lui Stewart fără a ține cont și de ecuația Marea teorema a lui Fermat. - x^n+y^n=z^n

Absolut complet de acord cu tine.
Poate, să zicem, ne-am putea folosi cumva de faptul că z-y are factor comun cu x, z-x are un factor comun cu y etc, dar nu ajută mai deloc.
Ne învârtim în cerc ajungând la egalități care nu se pot contrazice una pe alta.
Deci este inutil, intr-un final, dacă nu putem demonstra măcar că AD este rațional.
Dacă se poate demonstra că AD este rațional continuarea implicativa cred că știu cum s-o fac și funcționează, dar nu se poate demonstra asta, mai mult, cel mai probabil, AD este irațional.

Mi-am amintit și ce ai mai spus tu în continuare în mesajul tău și atâta le-am socotit azi la muncă în capul meu...doamne, nu mă mai puteam concentra la ce trebuie să fac în cadrul serviciului la un moment dat.
Le-am întors pe toate părțile posibile, nu duce la rezultate concrete, garantat.

Vezi că referitor la y^n-x^n=z^(n-2)(y^2-x^2) nu are cum să rezulte, noi doi am dezbătut mult această relație acum câțiva ani.
Dacă s-ar demonstra egalitatea, e joc de glezne să demonstrezi că nu poate fi valabilă pentru n>2, x, y, z, n naturale.
Adică eu îți pot arăta asta în două propoziții și o ecuație, că la nivel de primalitate, scriind y^n-x^n =z^n-2x^n, de exemplu, sau 2y^n-z^n, egalitatea pentru n>2 implică y și z, sau x și z, după caz, având factori comuni.
Dar nu poate rezulta asta nici din modul în care ai propus tu atunci folosind implicarea cosinusurilor prin relația ta.
Dacă vrei, reluam analiza, dar n-are rost.
Dar dacă, totuși vrei, putem s-o reluam.

În schimb, azi, tot sucindu-mi mintea în toate părțile, am găsit o chestiune interesantă referitoare la "simetria aia binomială" din celălalt subiect.
Încă analizez.
E ciudat de interesantă, dar nu știu încă cum să conectez lucrurile între ele.

CAdi a scris:M-am gandit si la o alta abordare a teoremei lui Fermat, dupa cea descrisa cu Binomul lui Newton.

Graficul functiei x^n+y^n este o functie pe care o putem scrie in 2 variante (a mea si a lui Dacu):
f(x)= x^n+(x+1)^n
sau
f(x) =(x+1)^n+ (x+2) ^n
la fel si graficul functiei z^n :
f(x) =(X+2)^n
sau
f(x)= (X+3)^n

Se stie ca functiile cu putere mai mare decat 3 deci n>3 au radacinile ecuatiilor la intersectia cu axele  Ox si Oy in multimea numerelor reale si complexe.
Cum graficele celor 2 functii sunt total diferite ,  ma indoiesc ca vreuna din radacini dintr-o parte si din cealalta sa coincida vreodata in acelasi timp si sa fie si numar natural

Si ipoteza mea este corecta , am facut graficele celor 2 functii si se vede ca cele 2 functii rezultate din teorema lui Fermat nu au radacini comune in multimea numerelor naturale ,
pentru puteri ale lui n>3 si deci Teorema lui Fermat:
,,Teorema: Ecuația x^{n}+y^{n}=z^{n} nu are soluții dacă n>2 este număr natural, iar x,y,z sunt numere naturale nenule"

este demonstrata si prin metoda graficelor de functii.

CAdi a scris:

CAdi a scris:M-am gandit si la o alta abordare a teoremei lui Fermat, dupa cea descrisa cu Binomul lui Newton.

Graficul functiei x^n+y^n este o functie pe care o putem scrie in 2 variante (a mea si a lui Dacu):
f(x)= x^n+(x+1)^n
sau
f(x) =(x+1)^n+ (x+2) ^n
la fel si graficul functiei z^n :
f(x) =(X+2)^n
sau
f(x)= (X+3)^n

Se stie ca functiile cu putere mai mare decat 3 deci n>3 au radacinile ecuatiilor la intersectia cu axele  Ox si Oy in multimea numerelor reale si complexe.
Cum graficele celor 2 functii sunt total diferite ,  ma indoiesc ca vreuna din radacini dintr-o parte si din cealalta sa coincida vreodata in acelasi timp si sa fie si numar natural

Si ipoteza mea este corecta , am facut graficele celor 2 functii si se vede ca cele 2 functii rezultate din teorema lui Fermat nu au radacini comune in multimea numerelor naturale ,
pentru puteri ale lui n>3 si deci Teorema lui Fermat:
,,Teorema: Ecuația x^{n}+y^{n}=z^{n} nu are soluții dacă n>2 este număr natural, iar x,y,z sunt numere naturale nenule"

este demonstrata si prin metoda graficelor de functii.

Si am si confirmarea :
Graficele celor doua functii din ecuatia generala care respecta Teorema lui Pitagora  :

x^n + (x+1)^n = (x+2)^n
adica mai detaliat :

f(x) = x^n + (x+1)^n
si
g(x)=(x+2)^n

pentru n=2 , devin :

f(x) = x^2 + (x+1)^2

si

g(x)=(x+2)^2

si se intretaie (au radacini comune) in punctele -1 si 3 care sunt solutiile ecuatiei x^2 + (x+1)^2= (x+2)^2 asa cum am demonstrat anterior .



Iata si graficele functiilor corespunzatoare pentru ecuatia  lui  Dacu  (x+1)^n+ (x+2) ^n= (x+3)^n




mai sus care are radacina comuna x=2  pentru f(x) =(x+1)^2+ (x+2) ^2 si g(x)= (x+3)^2 care verifica Teorema lui Pitagora.

si mai jos pentru n=4



unde nu exista radacini in multimea numerelor naturale pentru f(x) =(x+1)^4+ (x+2) ^4   si    g(x)= (x+3)^4

Mai jos si graficul unor functii pentru n=26 pentru care la fel nu exista solutii in multimea numerelor naturale;



si un grafic curios pentru n= 999

Bun, hai să mai și postez ceva, cel puțin până în locul unde am găsit o inconsistență.
Să vedem dacă poate fi corectată.
M-am chinuit între timp un pic, dar încă nu reușesc și eventual, o să revin cu continuarea ulterior dacă reușesc s-o clarific.
Până atunci prezint cam ce-am gândit și cum am gândit.

Ideea este că în ambii termeni din egalitățile anterioare de pe ultima pagină am încercat să exprim o legătură de factorizare între modul în care este exprimat un număr de forma a*a1-b*b1=a*a2-b*b2.
Dar am greșit ceva undeva.
Nici nu știu dacă paginile le-am expus în ordine, dar dacă e să pot clarifica le reordonez eu.

Și menționez și asta poate mai da idei cuiva.
Am plecat de la ideea că dacă atât a-b, cât și  c-d se divide ambele cu u, atunci ac-bd se divide cu u.

Urrra!!!!
Am găsit!
In ultima egalitate de pe ultima pagină, valoarea lui u este mai mare ca 1 și trebuie să fie un factor comun pentru (x_2^p + x^(p-1)) și x+z-y de unde rezultă că x_2 si x_1 au un factor comun.
De aici rezultă că x, y, z nu pot fi prime între ele.

curiosul a scris:Bun, hai să mai și postez ceva, cel puțin până în locul unde am găsit o inconsistență.
Să vedem dacă poate fi corectată.
M-am chinuit între timp un pic, dar încă nu reușesc și eventual, o să revin cu continuarea ulterior dacă reușesc s-o clarific.
Până atunci prezint cam ce-am gândit și cum am gândit.

Pentru a putea discuta coerent ceea ce ai scris trebuie să spui cărei mulțimi de numere aparțin numerele x,y,z căci evident n este un număr natural mai mare ca 3.

Deci, Dacule, ... parcă iar jucăm în filme diferite după cum te-ai exprimat.
Și repet, plecând de la tot ce am expus, se poate arăta că x_1 și x_2 trebuie să aibă un factor comun.
Dar, mă rog, nici nu mă obosesc să îți explic cum dacă asta a fost tot ce ai putut să spui.

Îți mai pun și pagina asta, Dacule, fără să mai explic ce-am făcut aseară acolo:

Am recitit un pic și înțeleg ce te-a derutat și ce te-a făcut să te exprimi așa.
În multe locuri am folosit exprimarea este "intreg" și nu natural.
Dar este o chestiune personală de percepție și exprimare, întotdeauna asociind "întreg" cu "natural".
Adică un număr și cu mâini, și cu picioare, metaforic vorbind.
Un număr rațional eu îl văd ca pe un număr incomplet, din care lipsește ceva, asociind exprimarea de mai sus, iar un număr irațional îl văd ca pe un număr care nu își găsește niciun loc nicăieri.
Când m-am exprimat întreg, m-am exprimat la un număr din care nu lipsește ceva pentru a fi complet, nu pentru că aș fi vrut să extind în Z.
În sfârșit...
Ignoră exprimarea întreg și folosește natural.
E valabil și pentru p prim egal cu 3, nu doar mai mare ca 3, deși pentru n=3, dintr-o anumită perspectivă de analiză, apare o particularitate care nu se mai regăsește în niciun alt caz.
Este vorba de un fel de simetrie perfectă raportat la ecuația despre care vorbim.
În celelalte, mai apare câte ceva diferit, dar în cazul n=3 apare un fel de simetrie care te învârte în jurul cozii tot timpul în analiza ecuației.

curiosul a scris:Am recitit un pic și înțeleg ce te-a derutat și ce te-a făcut să te exprimi așa.
În multe locuri am folosit exprimarea este "intreg" și nu natural.
Dar este o chestiune personală de percepție și exprimare, întotdeauna asociind "întreg" cu "natural".
Adică un număr și cu mâini, și cu picioare, metaforic vorbind.
Un număr rațional eu îl văd ca pe un număr incomplet, din care lipsește ceva, asociind exprimarea de mai sus, iar un număr irațional îl văd ca pe un număr care nu își găsește niciun loc nicăieri.
Când m-am exprimat întreg, m-am exprimat la un număr din care nu lipsește ceva pentru a fi complet, nu pentru că aș fi vrut să extind în Z.
În sfârșit...
Ignoră exprimarea întreg și folosește natural.
E valabil și pentru p prim egal cu 3, nu doar mai mare ca 3, deși pentru n=3, dintr-o anumită perspectivă de analiză, apare o particularitate care nu se mai regăsește în niciun alt caz.
Este vorba de un fel de simetrie perfectă raportat la ecuația despre care vorbim.
În celelalte, mai apare câte ceva diferit, dar în cazul n=3 apare un fel de simetrie care te învârte în jurul cozii tot timpul în analiza ecuației.

Deci x,y,z sunt numere naturale cu x mai mic ca y mai mic ca z și evident n este mai mare ca 2 (scuze că am spus mai mare ca 3).Dacă x și y sunt impare, atunci pot fi x și y simultan numere naturale prime?
Vom discuta doar ce ai scris la punctul 1.Apoi vom discuta ce ai scris la punctul 2.

O mică corectare în ce ai spus, x și y nu sunt ambele impare, ci una pară, una impară pentru că z trebuie să fie obligatoriu impar.
Nu m-am gândit la asta, dar cred că este imposibil, pentru n prim impar ca una din soluții să fie număr prim.
Aș zice, la repezeală, pentru că x+y-z este nenul, dar nu cred că așa se explică clar de ce niciuna nu poate fi număr prim.

În schimb, analizand acum pe moment, dacă x ar fi prim, z-y=1, sau dacă y ar fi prim, z-x=1, iar ecuația s-ar reduce la x, y, și y+1 sau x, y și x+1.
Dar pentru n prim impar, că despre asta este vorba acum, x+y și y+1 trebuie să aibă un factor comun, factor care trebuie să apară și în x-1.
Dar asta înseamnă că acest factor trebuie să se regăsească și în xy prin dezvoltarea x^p+y^p din factorul din paranteza mare, iar acesta nu poate fi decât p.
Nu știu cât e de corect, că sunt făcute acuma imaginar pe moment, dar nu știu nici câtă relevanță are acum.

În schimb, că nu am fost atent, cu siguranță și certitudine nu pot fi ambele prime.
Tu cred că te referi mai degrabă la cele două soluțiile impare ale ecuației, dar ambele nu pot fi prime în niciun caz.
Poate doar una dintre ele, dar ambele sigur nu.
Și că ambele soluții impare nu pot fi numere prime îți demonstrez lejer că nu este posibil.
Poate doar una dintre ele.
Pentru n număr prim impar.

De fapt, nu, m-am răzgândit, pentru n prim impar NICIUNA  din soluții nu poate fi număr prim.
Demonstrabil.
Dar aici nu folosește acest aspect.
Îți arăt cum se demonstrează doar dacă te ajută pe tine cu ceva.
Aducând ecuația la o formă congruenta mod p.

Și demonstrația e chiar frumoasă.
Ar merita menționată.
Are la bază un aspect menționat în simetria aia binomială.

Uite, Dacule, de exemplu, cum se demonstrează că z nu poate fi un număr prim pentru n număr prim impar de asemenea.









Pentru cazul în care considerăm că una din soluțiile x sau y este un număr prim demonstrația ușor diferită dar mai simplă pentru că se ajunge la arăta că fie z-y=1, fie z-x=1.
Dacă vrei ți-o scriu și pe aceea.

Dar, Dacule, uite o altă chestiune interesantă pornind de la modul în care am analizat primalitatea pentru cazul x sau y, reproducând principiul la soluțiile x, y, z ale ecuației.

Cu alte cuvinte, pentru n impar, (x+y) este factorul lui z^n, ceea ce înseamnă că x+y nu poate avea alți factori diferiți de ai lui z.

Îl scriem pe x+y sub formă z+(x+y-z) de unde rezultă că z+(x+y-z) nu poate avea alți factori diferiți de ai lui z.

La fel de bine, x+y poate fi scris sub forma 2z-[z-(x+y-z)] expresie care nu poate avea factori diferiți de cei ai lui z.

În consecință, se ajunge la faptul că
atât z-(x+y-z) cât și z+(x+y-z)
nu pot avea factori diferiți de ai lui z, de unde s-ar putea trage concluzia că x+y-z nu poate avea alți factori diferiți de cei ai lui z.
Dar x+y-z are în factorizare un factor al lui x și un factor al lui y.
În aceeași ordine de idei, ar implica că x, y, z trebuie să conțină fiecare un factor al lui z.

Dar este undeva o chestiune de interpretare în 2z-[z-(x+y-z)] și să văd dacă poate fi fructificată la nivel de factorizare astfel încât să poată duce la această concluzie.